Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy MB101 ­ 13. demonstrovaná cvičení Afinní geometrie Masarykova univerzita Fakulta informatiky 10.12. 2007 Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Plán přednášky 1 Domácí úlohy z minulého týdne 2 Návodné úlohy Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 1. Vyvraťte nebo dokažte: Nechť A je čtvercová matice n × n. Pak je matice AT A je symetrická. Nechť čtvercová matice A má pouze kladné reálné vlastní hodnoty. Pak je A symetrická. Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 2. Marek, Petr a Zuzka si házejí míčem. Každý z chlapců hodí balón s pravděpodobností 1/3 druhému a s pravděpodobností 2/3 Zuzce. Zuzka rozděluje balóny se stejnou pravděpodobností oběma chlapcům. Popište pohyb balónu jako Markovův proces. S jakou pravděpodobností se po dlouhé době bude míč nacházet u Zuzky? Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 2. Marek, Petr a Zuzka si házejí míčem. Každý z chlapců hodí balón s pravděpodobností 1/3 druhému a s pravděpodobností 2/3 Zuzce. Zuzka rozděluje balóny se stejnou pravděpodobností oběma chlapcům. Popište pohyb balónu jako Markovův proces. S jakou pravděpodobností se po dlouhé době bude míč nacházet u Zuzky? Řešení. Matice 0 1 3 1 2 1 3 0 1 2 2 3 2 3 0 , vlastní hodnotě 1 odpovídá vlastní vektor (1, 1, 4/3), hledaná pravděpodobnost je tedy 2/5. 2 Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 3. Nalezněte LU-rozklad následující matice: -2 1 0 -4 4 2 -6 1 -1 Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Řešení. 1 0 0 2 1 0 3 -1 1 -2 1 0 0 2 2 0 0 1 Nejprve vynásobíme matice odpovídající Gaussově eliminaci, dostáváme tak pro původní matici A, XA = U, kde X je dolní trojúhelníková daná zmíněným součinem, U horní trojúhelníková. Z této rovnosti máme A = X-1U, což je hledaný rozklad (musíme tedy spočítat inverzi k X). 2 Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Plán přednášky 1 Domácí úlohy z minulého týdne 2 Návodné úlohy Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad V bázi ([1, 2], (-1, 1), (1, 1)) je dáno afinní zobrazení f : R2 R2 předpisem f (x, y) = 1 3 2 1 x y + 2 3 , vyjádřete je v bázi ([-1, 1], (1, 0), (1, -1)). Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad Nalezněte osu mimoběžek p : [-1, 2, 2] + (2, 1, 1)t, q : [0, 2, -2] + (6, 0, 2)t. Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad Nalezněte příčku mimoběžek p : [2, 2, 2] + (1, 0, 1)t, q : [3, 3, 9] + (2, -1, 0)t, jdoucí bodem [1, 3, 5] Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad Rozhodněte, zda bod [1, 2, 2] leží v konvexním obalu bodů [1, 0, -1], [-1, 4, 5], [3, 4, 5] a [7, -3, 1].