1. zápočtová písemka
Mate-matilda II, podzim 2007, skupina íS
Jméno, UČO:
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. celkem
Příklad 1. (5 bodů: +1 za správnou odpověď, --1 za špatnou odpověď, 0 bez odpovědi)
Odpovězte (škrtnutím nehodícího se A N O nebo N E na patřičném řádku), zda jsou
pravdivá následující tvrzení:
1. ANO NE Má-li libovolná neprázdná podmnožina reálných čísel supremum, potom
má i infimum.
2. ANO NE Má-li funkce / v bodě XQ G IR obě jednostranné limity, potom má funkce
/ v bodě XQ limitu.
3. ANO NE Je-li funkce / spojitá na uzavřeném intervalu [a, b], a, b G E, a < b, a
je-li navíc f (a) ˇ f (b) < 0, potom existuje c G (a, b) tak, že f (c) = 0.
4. ANO NE Má-li funkce / vlastní derivaci v bodě xo G E, potom je v bodě xo
spojitá.
5. ANO NE Derivace součinu libovolných dvou funkcí je vždy různá od součinu
jejich derivací.
Příklad 2. (5 bodů: 3 body za první část, 1 bod za druhou část, 1 bod za třetí část)
1. Pomocí definice limity vysvětlete co znamená, že
ľ
lim 2 +
ÍE^OO \ X
2,
a doplňte následující tabulku.
e 0.5 0.1 0.05
a
2. Uveďte pravidlo pro derivování podílu dvou funkcí (Předpokládejte, že funkce ve
jmenovateli je nenulová).
3. Uveďte příklad funkce, která je nespojitá v bodech 1, 2, 3, 4, 5 a ve všech ostatních
reálných bodech je spojitá.
Příklad 3. (4 body)
Najděte Hermituv interpolační polynom funkce / dané tabulkou:
Xi -1 0 1
f(Xi) 8 -1 0
f'(Xi) -24 0 4
Příklad 4. (4 body)
Rozložte racionální lomennou funkci
3x2
- 2x + 3
x4
- 2x3
+ 2x2
- 2x + 1
na součet parciálních zlomků.
Příklad 5. (5 bodů)
Vypočítejte limitu
Příklad 6. (4 body)
Určete derivaci funkce f(x) = 1f^x, x eR. Dále ukažte, že / (f) + 3 / ' (f) = 3.
Příklad 7. (3 body)
Napište rovnice tečny a normály ke grafu funkce f(x) = j^r1
procházející bodem
[-2,-3].
lim (ex
+x2
)2 \ A