První test ­ skupina A Zadání si ponecháváte. Všechny listy, které budete odevzdávat, čitelně podepište. Zároveň uveďte také svoje UČO. Zlomte vaz! Část I. (Celkem 5 bodů.) Rozhodněte o pravdivosti 5 níže uvedených výroků. U jednotlivých tvrzení uvádíte pouze ,,platí" (pravda; ano, je to tak), nebo ,,neplatí" (lež; ne, není to tak), případně neodpovídáte, tj. např. ,,1 platí, 3 a 4 neplatí" ­ vysvětlování a komentáře jsou zcela zbytečné! (Uvědomte si, že matematická věta je pravdivá pouze tehdy, když platí za všech uvažovaných okolností: nesmí existovat ani jeden protipříklad.) Za správnou odpověď získáváte 1 bod, za špatnou se Vám 1 bod odečte. Celkem nemůžete za Část I získat záporný počet bodů. Tvrzení 1. Existují alespoň dva různé polynomy stupně 4, které nabývají v bodech -1, 1, 2, 5 po řadě hodnot 6, 0, 54, 1999 a které mají v bodě -188 první derivaci rovnu 0. Tvrzení 2. Třináctá derivace polynomu x15 - x5 + 12x2 - 111 je racionální lomená funkce, jenž má více než dva různé nulové body (tj. alespoň ve dvou různých bodech reálné přímky nabývá hodnoty 0). Tvrzení 3. Funkce f(x) := ln(x + 1) x , x (-1, 1) {0} má v bodě 0 odstranitelnou nespojitost. Tvrzení 4. Každá funkce f spojitá na intervalu I := [0, 122] nabývá v alespoň jednom bodě intervalu I infima množiny {f(x); x (0, 100)}. Tvrzení 5. Má-li libovolná funkce f vlastní derivaci na otevřeném intervalu I, pak platí, že je neklesající na I právě tehdy, když je f (x) > 0 pro všechna x I. Výsledky 1­5. Odpověď za 5 bodů je 3, 4 platí, 1, 2, 5 neplatí. Část II. (Celkem 5 bodů.) Úloha 6 (2 body). Stanovte supremum a infimum prázdné množiny v R. Pokud tvrdíte, že sup v R neexistuje, udejte příklad množiny M R, která nemá v R infimum, ale má zde supremum. Pokud tvrdíte, že inf v R neexistuje, udejte příklad množiny N R, která nemá v R supremum, ale má zde infimum. Výsledek. V R neexistuje sup ani inf . Lze položit kupř. M := Z N, N := N. Úloha 7 (1 bod). Definujte (za pomoci limity) spojitost funkce f v reálném bodě x0. Výsledek. Viz skriptum doc. Hilschera, podkapitola 2.5. Úloha 8 (2 body). Uveďte Lagrangeovu větu o střední hodnotě, včetně podmínek! Výsledek. Viz skriptum doc. Hilschera, podkapitola 2.10. Část III. (Celkem 20 bodů.) Příklad 9 (5 bodů). Sestrojte přirozený kubický interpolační splajn pro uzly x0 = -1, x1 = 0, x2 = 1 a po řadě hodnoty v těchto bodech y0 = 1, y1 = 0, y2 = 1. Výsledek. Výsledkem jsou kubické polynomy S0(x) = 1 2 (x + 1)3 - 3 2 (x + 1) + 1, x [-1, 0]; S1(x) = - 1 2 x3 + 3 2 x2 , x [0, 1]. Příklad 10 (4 body). Vypočtěte lim x0+ sin2 x x , lim x- sin2 x x . Výsledek. Je lim x0+ sin2 x x = 0, lim x- sin2 x x = 0. Příklad 11 (2 body). V libovolném bodě x / {n; n Z} určete první derivaci funkce f(x) := 3 sin x. Výsledek. Platí f (x) = cos x 3 3 sin2 x , x / {n; n Z}. Příklad 12 (4 body). Existuje-li mezi obdélníky o obvodu 4c (reálné c > 0 je dáno) obdélník s maximálním obsahem, stanovte délky jeho stran. Výsledek. Obdélník s daným obvodem a maximálním obsahem existuje. Jedná se o čtverec s délkou strany c. Příklad 13 (5 bodů). Najděte Taylorův rozvoj 3. řádu (tj. máte uvést Taylorův polynom stupně 3, tedy polynom stupně nejvýše 3) funkce 1 cos x v bodě x0 = 0. Výsledek. Hledaný polynom je 1 + x2 2 . Část IV. (Celkem 0 bodů.) Pokud se již nudíte, zkuste se trošičku zamyslet a vyřešit níže uvedený příklad: Příklad 14 (0 bodů). Uvažujte funkci ln 3e2x + ex + 10 ex + 1 definovanou pro všechna reálná x a nalezněte všechny její asymptoty. Výsledek. Daná funkce má 2 asymptoty, a to y = ln 10, y = x + ln 3. První test ­ skupina B Zadání si ponecháváte. Všechny listy, které budete odevzdávat, čitelně podepište. Zároveň uveďte také svoje UČO. Zlomte vaz! Část I. (Celkem 5 bodů.) Rozhodněte o pravdivosti 5 níže uvedených výroků. U jednotlivých tvrzení uvádíte pouze ,,platí" (pravda; ano, je to tak), nebo ,,neplatí" (lež; ne, není to tak), případně neodpovídáte, tj. např. ,,1 platí, 3 a 4 neplatí" ­ vysvětlování a komentáře jsou zcela zbytečné! (Uvědomte si, že matematická věta je pravdivá pouze tehdy, když platí za všech uvažovaných okolností: nesmí existovat ani jeden protipříklad.) Za správnou odpověď získáváte 1 bod, za špatnou se Vám 1 bod odečte. Celkem nemůžete za Část I získat záporný počet bodů. Tvrzení 1. Každý nenulový polynom, který můžeme vyjádřit ve tvaru anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0 pro nějaká reálná čísla an, an-1, . . . , a1, a0, je stupně n. Pro úplnost dodejme, že uvažujeme n N0 = N {0}. Tvrzení 2. Funkce je spojitá v bodě, právě když je v tomto bodě definovaná a má v tomto bodě obě jednostranné limity, přičemž tyto limity si jsou rovny. Tvrzení 3. Funkce f(x) := sin arctg 12x21 + 11 esin(x+2)-x3 -11 - x22 + sin(sin(sin(sin x))), x R je spojitá na celém R. Tvrzení 4. Pro všechna x R je (cosh x) = -sinh x. Tvrzení 5. Nechť pro nějakou funkci f a reálný bod x platí f(x) = 0, f (x) = 0, f (x) = 0, f(3) (x) = 100. Potom má funkce f v bodě x ostré lokální minimum. Výsledky 1­5. Odpověď za 5 bodů je 1, 2, 4, 5 neplatí, 3 platí. Část II. (Celkem 5 bodů.) Úloha 6 (2 body). Přímo z definice limity spočtěte lim x-1 (1 + x)3 - 11 2 , tj. udejte tzv. ()-předpis (čili užijte ­ definici). Výsledek. Existence limity a rovnost lim x-1 (1 + x)3 - 11 2 = - 11 2 plyne např. z volby := , > 0. Úloha 7 (1 bod). Vyjádřete derivaci součinu čtyř funkcí [f(x)g(x)h(x)k(x)] ve tvaru součtu 4 součinů daných funkcí či jejich derivací za předpokladu, že výše uvedený výraz existuje a má obvyklý význam. Výsledek. Platí [f(x)g(x)h(x)k(x)] = f (x)g(x)h(x)k(x) + f(x)g (x)h(x)k(x) + f(x)g(x)h (x)k(x) + f(x)g(x)h(x)k (x) pro každé x R a libovolné funkce f, g, h, k diferencovatelné v x. Úloha 8 (2 body). Nechť je dána funkce f mající vlastní derivaci na intervalu I. Jaké musí splňovat podmínky, abychom o ní mohli říci, že je konvexní? Uveďte definici a alespoň jednu další libovolnou postačující podmínku. Výsledek. Viz skriptum doc. Hilschera, podkapitola 2.14, Definice 11. V případě postačující podmínky odkažme kupř. na Větu 20, tamtéž. Část III. (Celkem 20 bodů.) Příklad 9 (4 body). Rozložte racionální lomenou funkci 4x2 + 13x - 2 x3 + 3x2 - 4x - 12 na parciální zlomky. Výsledek. Všude, kde jsou výrazy definovány, platí 4x2 + 13x - 2 x3 + 3x2 - 4x - 12 = 2 x - 2 + 3 x + 2 - 1 x + 3 . Příklad 10 (5 bodů). Vypočtěte lim x+ x 1 + x2 - x , lim x- 2x + 1 + x2 - 21x7 + x10 - 8x5 + 44x2 3x + 5 6x6 + x23 - 18x5 - 592x4 . Výsledek. Obě limity existují a platí lim x+ x 1 + x2 - x = 1 2 , lim x- 2x + 1 + x2 - 21x7 + x10 - 8x5 + 44x2 3x + 5 6x6 + x23 - 18x5 - 592x4 = 7 18 . Příklad 11 (2 body). Pro kladná x uveďte derivaci funkce xln x . Výsledek. Snadnou úpravou lze ze vzorce uvedeného na cvičení obdržet výsledek 2xln x-1 ln x. Příklad 12 (4 body). Za pomoci diferenciálu přibližně určete sin 46 180 . Výsledek. Výsledek může být uveden ve tvaru 2 2 + 2 360 . Příklad 13 (5 bodů). Vyšetřete průběh funkce f(x) := ex - 1 ex + 1 . Tedy uveďte definiční obor a obor hodnot; případnou lichost, sudost, periodicitu; určete body nespojitosti a jejich druh (pokud existují), nulové body (pokud existují) a intervaly, kde je funkce kladná a kde záporná; intervaly, na kterých funkce roste, klesá, či je konstantní; všechny stacionární a inflexní body; všechny lokální extrémy (pokud existují); intervaly, kde je funkce konvexní a kde konkávní; a všechny asymptoty. Počítat hodnoty ve význačných bodech ani načrtávat graf nemusíte. Výsledek. Funkce má derivace všech řádů na celé reálné přímce. Je lichá, všude rostoucí, konvexní na záporné poloose, konkávní na kladné, kde také nabývá kladných hodnot. Má dvě asymptoty, a to y = -1 v - a y = 1 v +. Infimum oboru hodnot je tedy -1 a supremum 1. Část IV. (Celkem 0 bodů.) Pokud se již nudíte, zkuste se trošičku zamyslet a vyřešit níže uvedený příklad: Příklad 14 (0 bodů). Napište 26. derivaci funkce f(x) := sin x + x23 - x18 + 15x11 - 13x8 - 5x4 - 11x3 + 16 + ex , x R. Výsledek. Platí f(26) (x) = -sin x + ex , x R. První test ­ skupina C Zadání si ponecháváte. Všechny listy, které budete odevzdávat, čitelně podepište. Zároveň uveďte také svoje UČO. Zlomte vaz! Část I. (Celkem 5 bodů.) Rozhodněte o pravdivosti 5 níže uvedených výroků. U jednotlivých tvrzení uvádíte pouze ,,platí" (pravda; ano, je to tak), nebo ,,neplatí" (lež; ne, není to tak), případně neodpovídáte, tj. např. ,,1 platí, 3 a 4 neplatí" ­ vysvětlování a komentáře jsou zcela zbytečné! (Uvědomte si, že matematická věta je pravdivá pouze tehdy, když platí za všech uvažovaných okolností: nesmí existovat ani jeden protipříklad.) Za správnou odpověď získáváte 1 bod, za špatnou se Vám 1 bod odečte. Celkem nemůžete za Část I získat záporný počet bodů. Tvrzení 1. Pro zcela libovolně dané navzájem různé body x0, . . . , xn R a hodnoty y0, . . . , yn R existuje nekonečně mnoho polynomů stupně nejvýše n + 1 (tj. stupně n + 1, nebo menšího), které v daných bodech nabývají uvedených hodnot (při zachování pořadí). Tvrzení 2. Pro každé dva polynomy P, Q, přičemž Q není identicky roven nulovému polynomu a současně st P < st Q, lze z nich složenou racionální ryze lomenou funkci P Q vyjádřit ve tvaru součtu parciálních zlomků, a to jednoznačně, tj. tento součet je určen jednoznačně až na pořadí jednotlivých zlomků. Tvrzení 3. Nechť je zcela libovolně dán interval I. Je-li funkce f spojitá a rostoucí na I, potom je také inverzní funkce f-1 spojitá a rostoucí na f(I). Tvrzení 4. Součin směrnice tečny a směrnice normály (ke grafu nějaké diferencovatelné funkce v daném bodě) je vždy roven -1. Tvrzení 5. Každá funkce f může mít nejvýše dvě asymptoty se směrnicí, zatímco pro každé n N existuje funkce fn definovaná na R, která má právě n asymptot bez směrnice. Výsledky 1­5. Odpověď za 5 bodů je 1, 3, 4, 5 platí, 2 neplatí. Část II. (Celkem 5 bodů.) Úloha 6 (1 bod). Uveďte větu O třech limitách (tzv. větu O třech policajtech). Výsledek. Viz skriptum doc. Hilschera, podkapitola 2.4, Věta 4. Úloha 7 (2 body). Nalezněte všechny body nespojitosti funkcí f(x) := ex - 1 x , g(x) := ex - 1 | x | s největším možným definičním oborem v R a určete, jakého jsou druhu: nespojitost odstranitelná, 1. druhu, či 2. druhu. Výsledek. Funkce f a g nejsou spojité pouze v bodě x = 0, kde mají po řadě odstranitelnou nespojitost, respektive nespojitost 1. druhu. (Funkce f tedy může být dodefinována tak, aby byla spojitou ve všech reálných bodech.) Úloha 8 (2 body). Udejte příklad dvou funkcí f a g, které nejsou diferencovatelné v žádném reálném bodě, ale jejich kompozice f g má derivaci na celé reálné přímce. Výsledek. Volbou f = g, přičemž f je definována tak, že v racionálních číslech nabývá hodnoty 1, zatímco v iracionálních číslech hodnoty -5, dostaneme konstantní funkci f g, a tudíž funkci diferencovatelnou v každém bodě reálné přímky. Část III. (Celkem 20 bodů.) Příklad 9 (4 body). Stanovte Hermitův interpolační polynom, je-li požadováno: x0 = -1, x1 = 1, y0 = -11, y1 = 1, y0 = 12, y1 = 4. Výsledek. Hledaný polynom je x3 - 2x2 + 5x - 3. Příklad 10 (5 bodů). Užitím ľHospitalova pravidla doplňte lim x0 (1 - cos x)sin x = . . . , lim x0 sin x x = . . . Výsledek. Dvojím užitím ľHospitalova pravidla lze ukázat, že lim x0 (1 - cos x)sin x = e0 = 1. Současně je známo, že lim x0 sin x x = 1. Příklad 11 (5 bodů). Napište rovnici tečny a normály ke křivce dané rovnicí x3 + y3 - 2xy = 0 v bodě [1, 1]. Výsledek. Rovnice tečny je y = 2 - x, normály y = x. Příklad 12 (4 body). Nalezněte všechna lokální maxima a minima funkce f(x) := x ln2 x definované na intervalu (0, ). Výsledek. V bodě x = e-2 nabývá funkce f lokálního maxima a v bodě x = 1 potom lokálního minima. Příklad 13 (2 body). Určete Taylorův polynom se středem v počátku (tj. pro x0 = 0) stupně alespoň 8 funkce e2x . Výsledek. Výsledek je n k=0 2k xk k! , n 8, n N. Část IV. (Celkem 0 bodů.) Pokud se již nudíte, zkuste se trošičku zamyslet a vyřešit níže uvedený příklad: Příklad 14 (0 bodů). Určete derivaci funkce f(x) := (x + 2)3 3 x - 1 ex(x + 132)2 pro x > 1. Výsledek. Pro všechna x > 1 je f (x) = (x + 2)3 3 x - 1 ex(x + 132)2 3 x + 2 + 1 3(x - 1) - 2 x + 132 - 1 .