První test ­ skupina A
Zadání si ponecháváte. Všechny listy, které budete odevzdávat, čitelně podepište. Zároveň
uveďte také své UČO. Zlomte vaz!
Část I. (Celkem 5 bodů.)
Rozhodněte o pravdivosti 5 níže uvedených výroků. U jednotlivých tvrzení uvádíte
pouze ,,platí" (pravda; ano, je to tak), nebo ,,neplatí" (lež; ne, není to tak), případně neodpovídáte,
tj. např. ,,1 platí, 3 a 4 neplatí" ­ vysvětlování a komentáře jsou zcela zbytečné!
(Uvědomte si, že matematická věta je pravdivá pouze tehdy, když platí za všech uvažovaných
okolností: nesmí existovat ani jeden protipříklad.) Za správnou odpověď získáváte
1 bod, za špatnou se Vám 1 bod odečte. Celkem nemůžete za Část I získat záporný počet
bodů.
Tvrzení 1. Existují alespoň dva různé polynomy stupně 4, které nabývají v bodech
-1, 1, 2, 5 po řadě hodnot 6, 0, 54, 1999 a které mají v bodě -188 první derivaci rovnu 0.
Tvrzení 2. Třináctá derivace polynomu x15
- x5
+ 12x2
- 111 je racionální lomená
funkce, jenž má více než dva různé nulové body (tj. alespoň ve dvou různých bodech reálné
přímky nabývá hodnoty 0).
Tvrzení 3. Funkce
f(x) :=
ln(x + 1)
x
, x  (-1, 1) {0}
má v bodě 0 odstranitelnou nespojitost.
Tvrzení 4. Každá funkce f spojitá na intervalu I := [0, 122] nabývá v alespoň jednom
bodě intervalu I infima množiny {f(x); x  (0, 100)}.
Tvrzení 5. Má-li libovolná funkce f vlastní derivaci na otevřeném intervalu I, pak
platí, že je neklesající na I právě tehdy, když je f (x) > 0 pro všechna x  I.
Část II. (Celkem 5 bodů.)
Úloha 6 (2 body). Stanovte supremum a infimum prázdné množiny v R. Pokud tvrdíte,
že sup  v R neexistuje, udejte příklad množiny M  R, která nemá v R infimum, ale
má zde supremum. Pokud tvrdíte, že inf  v R neexistuje, udejte příklad množiny N  R,
která nemá v R supremum, ale má zde infimum.
Úloha 7 (1 bod). Definujte (za pomoci limity) spojitost funkce f v reálném bodě x0.
Úloha 8 (2 body). Uveďte Lagrangeovu větu o střední hodnotě, včetně podmínek!
Část III. (Celkem 20 bodů.)
Příklad 9 (5 bodů). Sestrojte přirozený kubický interpolační splajn pro uzly x0 =
-1, x1 = 0, x2 = 1 a po řadě hodnoty v těchto bodech y0 = 1, y1 = 0, y2 = 1.
Příklad 10 (4 body). Vypočtěte
lim
x0+
sin2
x
x
, lim
x-
sin2
x
x
.
Příklad 11 (2 body). V libovolném bodě x / {n; n  Z} určete první derivaci
funkce f(x) := 3

sin x.
Příklad 12 (4 body). Existuje-li mezi obdélníky o obvodu 4c (reálné c > 0 je dáno)
obdélník s maximálním obsahem, stanovte délky jeho stran.
Příklad 13 (5 bodů). Najděte Taylorův rozvoj 3. řádu (tj. máte uvést Taylorův polynom
stupně 3, tedy polynom stupně nejvýše 3) funkce 1
cos x
v bodě x0 = 0.
Pokud se již nudíte, zkuste se trošičku zamyslet a vyřešit níže uvedený příklad:
Příklad 14 (0 bodů). Uvažujte funkci
ln
3e2x
+ ex
+ 10
ex + 1
definovanou pro všechna reálná x a nalezněte všechny její asymptoty.
První test ­ skupina B
Zadání si ponecháváte. Všechny listy, které budete odevzdávat, čitelně podepište. Zároveň
uveďte také své UČO. Zlomte vaz!
Část I. (Celkem 5 bodů.)
Rozhodněte o pravdivosti 5 níže uvedených výroků. U jednotlivých tvrzení uvádíte
pouze ,,platí" (pravda; ano, je to tak), nebo ,,neplatí" (lež; ne, není to tak), případně neodpovídáte,
tj. např. ,,1 platí, 3 a 4 neplatí" ­ vysvětlování a komentáře jsou zcela zbytečné!
(Uvědomte si, že matematická věta je pravdivá pouze tehdy, když platí za všech uvažovaných
okolností: nesmí existovat ani jeden protipříklad.) Za správnou odpověď získáváte
1 bod, za špatnou se Vám 1 bod odečte. Celkem nemůžete za Část I získat záporný počet
bodů.
Tvrzení 1. Každý nenulový polynom, který můžeme vyjádřit ve tvaru
anxn
+ an-1xn-1
+    + a1x + a0
pro nějaká reálná čísla an, an-1, . . . , a1, a0, je stupně n. Pro úplnost dodejme, že uvažujeme
n  N0 = N  {0}.
Tvrzení 2. Funkce je spojitá v bodě, právě když je v tomto bodě definovaná a má
v tomto bodě obě jednostranné limity, přičemž tyto limity si jsou rovny.
Tvrzení 3. Funkce
f(x) := sin arctg 12x21
+ 11 
esin(x+2)-x3
-11 - x22
+ sin(sin(sin(sin x))), x  R
je spojitá na celém R.
Tvrzení 4. Pro všechna x  R je (cosh x) = -sinh x.
Tvrzení 5. Nechť pro nějakou funkci f a reálný bod x platí f(x) = 0, f (x) = 0,
f (x) = 0, f(3)
(x) = 100. Potom má funkce f v bodě x ostré lokální minimum.
Část II. (Celkem 5 bodů.)
Úloha 6 (2 body). Přímo z definice limity spočtěte
lim
x-1
(1 + x)3
- 11
2
,
tj. udejte tzv. ()-předpis (čili užijte ­ definici).
Úloha 7 (1 bod). Vyjádřete derivaci součinu čtyř funkcí [f(x)g(x)h(x)k(x)] ve tvaru
součtu 4 součinů daných funkcí či jejich derivací za předpokladu, že výše uvedený výraz
existuje a má obvyklý význam.
Úloha 8 (2 body). Nechť je dána funkce f mající vlastní derivaci na intervalu I. Jaké
musí splňovat podmínky, abychom o ní mohli říci, že je konvexní? Uveďte definici a alespoň
jednu další libovolnou postačující podmínku.
Část III. (Celkem 20 bodů.)
Příklad 9 (4 body). Rozložte racionální lomenou funkci
4x2
+ 13x - 2
x3 + 3x2 - 4x - 12
na parciální zlomky.
Příklad 10 (5 bodů). Vypočtěte
lim
x+
x

1 + x2 - x , lim
x-
2x
+

1 + x2 - 21x7 + x10 - 8x5
+ 44x2
3x + 5

6x6 + x23 - 18x5 - 592x4
.
Příklad 11 (2 body). Pro kladná x uveďte derivaci funkce xln x
.
Příklad 12 (4 body). Za pomoci diferenciálu přibližně určete sin 46
180
 .
Příklad 13 (5 bodů). Vyšetřete průběh funkce f(x) := (ex
- 1)/(ex
+ 1). Tedy uveďte
definiční obor a obor hodnot; případnou lichost, sudost, periodicitu; určete body nespojitosti
a jejich druh (pokud existují), nulové body (pokud existují) a intervaly, kde je funkce
kladná a kde záporná; intervaly, na kterých funkce roste, klesá, či je konstantní; všechny
stacionární a inflexní body; všechny lokální extrémy (pokud existují); intervaly, kde je
funkce konvexní a kde konkávní; a všechny asymptoty. Počítat hodnoty ve význačných
bodech ani načrtávat graf nemusíte.
Pokud se již nudíte, zkuste se trošičku zamyslet a vyřešit níže uvedený příklad:
Příklad 14 (0 bodů). Napište 26. derivaci funkce
f(x) := sin x + x23
- x18
+ 15x11
- 13x8
- 5x4
- 11x3
+ 16 + ex
, x  R.
První test ­ skupina C
Zadání si ponecháváte. Všechny listy, které budete odevzdávat, čitelně podepište. Zároveň
uveďte také své UČO. Zlomte vaz!
Část I. (Celkem 5 bodů.)
Rozhodněte o pravdivosti 5 níže uvedených výroků. U jednotlivých tvrzení uvádíte
pouze ,,platí" (pravda; ano, je to tak), nebo ,,neplatí" (lež; ne, není to tak), případně neodpovídáte,
tj. např. ,,1 platí, 3 a 4 neplatí" ­ vysvětlování a komentáře jsou zcela zbytečné!
(Uvědomte si, že matematická věta je pravdivá pouze tehdy, když platí za všech uvažovaných
okolností: nesmí existovat ani jeden protipříklad.) Za správnou odpověď získáváte
1 bod, za špatnou se Vám 1 bod odečte. Celkem nemůžete za Část I získat záporný počet
bodů.
Tvrzení 1. Pro zcela libovolně dané navzájem různé body x0, . . . , xn  R a hodnoty
y0, . . . , yn  R existuje nekonečně mnoho polynomů stupně nejvýše n + 1 (tj. stupně n + 1,
nebo menšího), které v daných bodech nabývají uvedených hodnot (při zachování pořadí).
Tvrzení 2. Pro každé dva polynomy P, Q, přičemž Q není identicky roven nulovému
polynomu a současně st P < st Q, lze z nich složenou racionální ryze lomenou funkci P
Q
vyjádřit ve tvaru součtu parciálních zlomků, a to jednoznačně, tj. tento součet je určen
jednoznačně až na pořadí jednotlivých zlomků.
Tvrzení 3. Nechť je zcela libovolně dán interval I. Je-li funkce f spojitá a rostoucí
na I, potom je také inverzní funkce f-1
spojitá a rostoucí na f(I).
Tvrzení 4. Součin směrnice tečny a směrnice normály (ke grafu nějaké diferencovatelné
funkce v daném bodě) je vždy roven -1.
Tvrzení 5. Každá funkce f může mít nejvýše dvě asymptoty se směrnicí, zatímco pro
každé n  N existuje funkce fn definovaná na R, která má právě n asymptot bez směrnice.
Část II. (Celkem 5 bodů.)
Úloha 6 (1 bod). Uveďte větu O třech limitách (tzv. větu O třech policajtech).
Úloha 7 (2 body). Nalezněte všechny body nespojitosti funkcí
f(x) :=
ex
- 1
x
, g(x) :=
ex
- 1
| x |
s největším možným definičním oborem v R a určete, jakého jsou druhu: nespojitost odstranitelná,
1. druhu, či 2. druhu.
Úloha 8 (2 body). Udejte příklad dvou funkcí f a g, které nejsou diferencovatelné
v žádném reálném bodě, ale jejich kompozice f  g má derivaci na celé reálné přímce.
Část III. (Celkem 20 bodů.)
Příklad 9 (4 body). Stanovte Hermitův interpolační polynom, je-li požadováno:
x0 = -1, x1 = 1, y0 = -11, y1 = 1, y0 = 12, y1 = 4.
Příklad 10 (5 bodů). Užitím ľHospitalova pravidla doplňte
lim
x0
(1 - cos x)sin x
= . . . , lim
x0
sin x
x
= . . .
Příklad 11 (5 bodů). Napište rovnici tečny a normály ke křivce dané rovnicí x3
+
y3
- 2xy = 0 v bodě [1, 1].
Příklad 12 (4 body). Nalezněte všechna lokální maxima a minima funkce f(x) :=
x ln2
x definované na intervalu (0, ).
Příklad 13 (2 body). Určete Taylorův polynom se středem v počátku (tj. pro x0 = 0)
stupně alespoň 8 funkce e2x
.
Pokud se již nudíte, zkuste se trošičku zamyslet a vyřešit níže uvedený příklad:
Příklad 14 (0 bodů). Určete derivaci funkce
f(x) :=
(x + 2)3 3

x - 1
ex(x + 132)2
pro x > 1.