Druhý test ­ skupina A Zadání si ponecháváte. Všechny listy, které budete odevzdávat, čitelně podepište. Zároveň uveďte také svoje UČO. Zlomte vaz! Část I. (Celkem 5 bodů.) Rozhodněte o pravdivosti 5 níže uvedených výroků. U jednotlivých tvrzení uvádíte pouze ,,platí" (pravda; ano, je to tak), nebo ,,neplatí" (lež; ne, není to tak), případně neodpovídáte. Vysvětlování a komentáře jsou zcela zbytečné! Za správnou odpověď získáváte 1 bod, za špatnou se Vám 1 bod odečte (neodpovídáte-li, bodový zisk či ztráta se nemění). Celkem nemůžete za Část I získat záporný počet bodů. Čtěte velmi pozorně! Tvrzení 1. Existuje funkce definovaná na reálné přímce, která není spojitá alespoň v 1 bodě, přestože k ní existuje nekonečně mnoho primitivních funkcí na celém R. Tvrzení 2. Pro každou funkci f spojitou na intervalu I := [-1, 1] je dolní (Riemannův) integrál z f na I roven hornímu (Riemannově) integrálu z f na I. Tvrzení 3. Nevlastní integrál + 0 x-2 dx konverguje. Tvrzení 4. Nechť je dána konstanta a (0, 1). Pak je n=1 an = (1 - a)-1 - 1. Tvrzení 5. Maclaurinovou (Taylorovou se středem x0 = 0) řadou funkce sin x je řada n=0 (-1)n x2n /(2n)!, která konverguje pro všechna x R. Výsledky 1­5. Odpověď za 5 bodů je 1, 2, 4 platí, 3, 5 neplatí. Část II. (Celkem 5 bodů.) Úloha 6 (2 body). Jsou-li f, g nenulové spojité funkce na R, pro libovolné hodnoty c, d R vyčíslete integrál c c f - g dx a rozdíl integrálů d c f - g dx - c d g - f dx. Výsledek. Výsledkem je v obou případech 0. Viz skriptum doc. Hilschera, Poznámka 26, (iii). Úloha 7 (1 bod). Co znamená, že řada reálných čísel n=100(-1)n an konverguje ab- solutně? Výsledek. Viz skriptum doc. Hilschera, Definice 26. Úloha 8 (2 body). Udejte příklad nekonečné (číselné) řady n=0 an, která osciluje, takové, že řada n=0 bn, kde bn = | an |, diverguje k +. Výsledek. Uvažte řadu n=0 (-1)n . Část III. (Celkem 20 bodů.) Z příkladů za 4 body počítáte nejvýše 2 dle vlastní volby: vyberete si 1, který neřešíte. Příklad 9 (5 bodů). Spočtěte x3 (x-1)(x-2)2 dx. Výsledek. Platí x3 (x - 1)(x - 2)2 dx = ln | x - 1 | (x - 2)4 - 8 x - 2 + x + C, kde C R. Příklad 10 (2 body). Vyčíslete 1 -1 | x | dx. Přitom je vhodné uvážit geometrický význam určitého integrálu. Výsledek. Výsledek je 1. Příklad 11 (4 body). Stanovte objem tělesa vzniklého otáčením ohraničené plochy vymezené grafy funkcí f(x) = 2x - x2 a g(x) 0 okolo x-ové osy. Výsledek. Objem tělesa činí 16/15. Příklad 12 (5 bodů). Rozhodněte, zda jednotlivé řady n=0 (-1)n (n!)2 (2n)! , n=21 (-1)n n8 - 5n6 + 2n 2n , n=1 (-1)n 1 n - ln n , n=1 (-1)n+1 1 n n konvergují absolutně, konvergují neabsolutně (relativně), či divergují. Výsledek. První dvě řady a čtvrtá řada konvergují absolutně, třetí relativně. Příklad 13 (4 body). Pro libovolné a (-1, 1) sečtěte n=1 n(n + 1)an . Výsledek. Součet dané řady je 2a (1 - a)3 . Příklad 14 (4 body). Nalezněte řešení diferenciální rovnice y cotg x + y = 2, které splňuje podmínku y(0) = -1. Výsledek. Hledané partikulární řešení je y = 2 - 3 cos x. Druhý test ­ skupina B Zadání si ponecháváte. Všechny listy, které budete odevzdávat, čitelně podepište. Zároveň uveďte také svoje UČO. Zlomte vaz! Část I. (Celkem 5 bodů.) Rozhodněte o pravdivosti 5 níže uvedených výroků. U jednotlivých tvrzení uvádíte pouze ,,platí" (pravda; ano, je to tak), nebo ,,neplatí" (lež; ne, není to tak), případně neodpovídáte. Vysvětlování a komentáře jsou zcela zbytečné! Za správnou odpověď získáváte 1 bod, za špatnou se Vám 1 bod odečte (neodpovídáte-li, bodový zisk či ztráta se nemění). Celkem nemůžete za Část I získat záporný počet bodů. Čtěte velmi pozorně! Tvrzení 1. Je-li a > 0, pak je ax dx = ax ln a + c, x, c R. Tvrzení 2. Součtem, rozdílem, součinem i podílem libovolných dvou funkcí integrovatelných na R je ve všech případech funkce integrovatelná na R. Tvrzení 3. Pro každé dvě relativně konvergentní řady n=0 an, n=0 bn platí rovnost n=0(an - 2bn) = n=0 an - 2 n=0 bn. Tvrzení 4. Jestliže pro libovolnou číselnou řadu n=0 an je lim n a2 n = 0, pak tato řada konverguje. Tvrzení 5. Platí n=1 (-1)n 1 n - p n=1 (-1)n 1 n = n=p+1 (-1)n 1 n < 1 p pro všechna p N. Výsledky 1­5. Odpověď za 5 bodů je 1, 2, 4 neplatí, 3, 5 platí. Část II. (Celkem 5 bodů.) Úloha 6 (1 bod). Zaveďte (tak, jak je obvyklé) průměrnou (střední) hodnotu av(f) = av[-1,1](f) funkce f na intervalu [-1, 1] za předpokladu, že f je na tomto intervalu spojitá. Výsledek. Viz skriptum doc. Hilschera, Definice 21. Úloha 7 (2 body). Vyjádřete bez symbolů derivace a integrace výraz a x2 3 t2 cos t dt s proměnnou x R a reálnou konstantou a, je-li derivováno podle x. Výsledek. Platí a x2 3 t2 cos t dt = -6 x5 cos x2 . Viz skriptum doc. Hilschera, podkapitola 3.7. Úloha 8 (2 body). Nechť n=0 an je nekonečná řada s kladnými členy taková, že existuje (vlastní nebo nevlastní) limita lim n an+1/an. Uveďte pro tuto řadu tzv. podílové kritérium (konvergence i divergence). Poté aplikujte toto kritérium na Vámi libovolně zvolenou řadu, tj. užitím tohoto kritéria rozhodněte o konvergenci (či divergenci) nějaké řady. Výsledek. Viz skriptum doc. Hilschera, podkapitola 4.2, Věta 44, Příklad 142. Část III. (Celkem 20 bodů.) Z příkladů za 4 body počítáte nejvýše 2 dle vlastní volby: vyberete si 1, který neřešíte. Příklad 9 (2 body). Určete 4/(x2 - 2x + 3) dx. Výsledek. Dle známého vzorce je (C R) 4 x2 - 2x + 3 dx = 4 (x - 1)2 + 2 dx = 2 2 arctg x - 1 2 + C. Příklad 10 (4 body). Vypočtěte 1 -1 x2 e-x dx. Výsledek. Výsledek je e - 5e-1 . (Uvažte metodu per partes.) Příklad 11 (5 bodů). Vyčíslete 0 x e-x2 dx, 0 e-1/x x2 dx. Výsledek. Užitím 1. substituční metody můžeme obdržet 0 x e-x2 dx = - 1 2 , 0 e-1/x x2 dx = 1. Příklad 12 (5 bodů). Sečtěte n=1 1/(n2 + 3n). Výsledek. Součet uvažované řady je s = 11/18. Příklad 13 (4 body). Rozviňte funkci f(x) := ln (1 + x) - ln (1 - x) definovanou na intervalu (-1, 1) do Maclaurinovy řady, tj. Taylorovy řady se středem v počátku. Výsledek. Platí ln 1 + x 1 - x = 2 n=1 x2n-1 2n - 1 pro x (-1, 1). Příklad 14 (4 body). Vyřešte diferenciální rovnici x2 y = 1 - y. Výsledek. Výsledek je (c R) y = 1 - c e 1 x . Druhý test ­ skupina C Zadání si ponecháváte. Všechny listy, které budete odevzdávat, čitelně podepište. Zároveň uveďte také svoje UČO. Zlomte vaz! Část I. (Celkem 5 bodů.) Rozhodněte o pravdivosti 5 níže uvedených výroků. U jednotlivých tvrzení uvádíte pouze ,,platí" (pravda; ano, je to tak), nebo ,,neplatí" (lež; ne, není to tak), případně neodpovídáte. Vysvětlování a komentáře jsou zcela zbytečné! Za správnou odpověď získáváte 1 bod, za špatnou se Vám 1 bod odečte (neodpovídáte-li, bodový zisk či ztráta se nemění). Celkem nemůžete za Část I získat záporný počet bodů. Čtěte velmi pozorně! Tvrzení 1. Jsou-li funkce f, g primitivními funkcemi stejné funkce h na intervalu (-2, 2), je nutně av[0,1](f - g) = 0. Tvrzení 2. Nerovnost 0 1 | p(x) | dx < 0 má smysl a je splněna pro všechny polynomy p různé od identicky nulové funkce. Tvrzení 3. Položíme-li ~f(x) := x 0 f(t) dt, x R pro libovolnou funkci f integrovatelnou na každém ohraničeném intervalu I R, obdržíme funkci ~f spojitou na celém R. Tvrzení 4. Pro jakákoliv záporná reálná čísla an (n N {0}) platí, že z konvergence řady n=0 an plyne konvergence řady n=0 | an |. Tvrzení 5. Uvažujte libovolnou mocninnou řadu n=0 an(x - x0)n . Jestliže existuje vlastní limita lim n an/an+1 a je rovna a (0, +), pak poloměr konvergence dané mocninné řady R splňuje nerovnost R 1/a. Výsledky 1­5. Odpověď za 5 bodů je 2, 3, 4 platí, 1, 5 neplatí. Část II. (Celkem 5 bodů.) Úloha 6 (1 bod). Nechť derivace funkcí u(x), v(x) jsou spojitými funkcemi na intervalu [a, b], kde a < b (a, b R). Uveďte metodu per partes pro určitý integrál (s mezemi a, b). Výsledek. Viz skriptum doc. Hilschera, Věta 38. Úloha 7 (2 body). Napište vzorce pro objem a obsah pláště rotačního tělesa vzniklého rotací plochy mezi Gr f a osou x na intervalu [a, b] kolem osy x, je-li f nezápornou funkcí se spojitou derivací na [a, b] pro čísla a, b R splňující a < b. Výsledek. Viz skriptum doc. Hilschera, Tvrzení 8, Tvrzení 9. Úloha 8 (2 body). Polynom amxm + am-1xm-1 + + a1x + a0 zadaný libovolnými reálnými čísly a0, a1, . . . , an, . . . , z nichž pouze konečně mnoho je nenulových, vyjádřete ve tvaru Maclaurinova rozvoje n=0 nxn (tj. Taylorovy řady se středem v počátku). Tedy určete všechna n R pomocí hodnot an (n N {0}). Výsledek. Zjevně je n = an pro všechna n N {0}. Část III. (Celkem 20 bodů.) Z příkladů za 4 body počítáte nejvýše 2 dle vlastní volby: vyberete si 1, který neřešíte. Příklad 9 (4 body). Užitím vhodné metody určete e 1/e | ln x | dx. Výsledek. Platí, že e 1/e | ln x | dx = 2 - 2 e . Příklad 10 (5 bodů). Vypočtěte délku grafu funkce f(x) = ln (1 - x2 ) na intervalu [0, 1/2]. Výsledek. Výsledek je d = ln 3 - 1 2 . Příklad 11 (2 body). Napište součet řady n=0 5 3-n . Výsledek. Dosazením do vzorce pro součet geometrické řady lze obdržet n=0 5 1 3 n = 15 2 . Příklad 12 (5 bodů). Stanovte všechny hodnoty parametrů A, B R, pro které řady n=1 (-1)n n An , n=1 (-1)n sin B n n (relativně) konvergují. Výsledek. Dané řady konvergují právě pro hodnoty A (-, -1)(1, ) a pro všechna B R. Příklad 13 (4 body). Určete poloměr konvergence r a obor konvergence mocninné řady n=0 (-1)n 22n n! (2n)! xn . Výsledek. Je r = +, tj. oborem konvergence je celá reálná přímka. Příklad 14 (4 body). Vyřešte diferenciální rovnici y + (y - 1)tg x = 0. Výsledek. Výsledek je (c R) y = c cos x + 1.