Dodatečný zápočtový test ­ skupina A
Zadání Vám zůstává. Odevzdáváte pouze přiložený list, kde pouze vyplníte: Vaše jméno,
UČO a za pod sebou napsaná čísla 1, 2, . . . , 14, 15 uvedete výsledky příslušných příkladů,
tj. Vaše odpovědi v podobě osamoceného (nejvýše jednoho) výsledku bez jakýchkoli komentářů
či poznámek! (Tři příklady budou uvedeny na tabuli.) Pokud jste nějaký příklad
neřešili, odpovídající řádek proškrtněte. Poté se podepište!
Počítat máte nejvýše 12 příkladů dle vlastní volby! Tedy alespoň tři řádky musíte pro-
škrtnout!
Příklad 1 (5 bodů). Nalezněte polynom nejvýše třetího stupně, který v bodech 1
a -1 nabývá shodně hodnoty 6 a jenž má v bodě 1 a zároveň v bodě -1 derivaci rovnu 2.
Příklad 2 (5 bodů). Vyjádřete racionální ryze lomenou funkci
-5x + 2
x4 - x3 + 2x2
ve tvaru součtu parciálních zlomků.
Příklad 3 (5 bodů). Nechť je dána funkce
f(x) := 2 arctg
x
x2 - 1
definovaná pro reálná x = 1. Uveďte všechny její body nespojitosti, včetně jejich druhu.
Příklad 4 (5 bodů). Např. užitím Maclaurinova polynomu nebo ľHospitalova pravidla
vypočtěte
lim
x0sin
x - x
x3
.
Příklad 5 (5 bodů). Opět uvažujte funkci
f(x) = 2 arctg
x
x2 - 1
, x = 1, x  R.
Nalezněte všechny její asymptoty.
Příklad 6 (5 bodů). Určete
x2
sin x dx.
Příklad 7 (5 bodů). Vyčíslete
2
1
x

1 + x2
dx.
Příklad 8 (5 bodů). Spočtěte
+
-
1
x2 + x + 1
dx.
Příklad 9 (5 bodů). Stanovte součet řady

n=1
2n - 1
2n
.
Příklad 10 (5 bodů). Zjistěte, pro která x  R řada

n=20
enx
n
absolutně konverguje.
Příklad 11 (5 bodů). Najděte mocninný rozvoj se středem v bodě x0 = 0 funkce
x
0
e(t2
) dt.
Příklad 12 (5 bodů). Nalezněte řešení rovnice y +2xy = xe(-x2
), které v bodě x0 = 0
nabývá hodnoty y0 = 5.
Dodatečný zápočtový test ­ skupina B
Zadání Vám zůstává. Odevzdáváte pouze přiložený list, kde pouze vyplníte: Vaše jméno,
UČO a za pod sebou napsaná čísla 1, 2, . . . , 14, 15 uvedete výsledky příslušných příkladů,
tj. Vaše odpovědi v podobě osamoceného (nejvýše jednoho) výsledku bez jakýchkoli komentářů
či poznámek! (Tři příklady budou uvedeny na tabuli.) Pokud jste nějaký příklad
neřešili, odpovídající řádek proškrtněte. Poté se podepište!
Počítat máte nejvýše 12 příkladů dle vlastní volby! Tedy alespoň tři řádky musíte pro-
škrtnout!
Příklad 1 (5 bodů). Sestrojte přirozený kubický interpolační splajn pro body x0 =
-1, x1 = 0 a x2 = 2 a hodnoty y0 = y1 = y2 = 1.
Příklad 2 (5 bodů). Stanovte
lim
x0-

1 + tg x -

1 - tg x
sin x
.
Příklad 3 (5 bodů). Pro libovolné x  R derivujte
x

1 + x2 + ex
(x2
- 2x + 2).
Příklad 4 (5 bodů). Napište rovnici normály ke grafu funkce 1 - ex/2
v bodě, který
je průsečíkem tohoto grafu s osou x.
Příklad 5 (5 bodů). Uveďte Taylorův polynom čtvrtého stupně funkce e-x2/2
v bodě
x0 = 0.
Příklad 6 (5 bodů). Vypočtěte
arctg x dx.
Příklad 7 (5 bodů). Vyčíslete
1
-1
x

5 - 4x
dx
za pomoci 2. substituční metody.
Příklad 8 (5 bodů). Zjistěte obsah ohraničeného rovinného obrazce vymezeného částmi
křivek y = x2
+ 2x - 3, y = 0.
Příklad 9 (5 bodů). Sečtěte řadu

n=1
3n
+ 2n
6n
.
Příklad 10 (5 bodů). Určete poloměr konvergence mocninné řady

n=1
5 xn-1
n 3n-1
.
Příklad 11 (5 bodů). Stanovte součet číselné řady

n=1
1
n 3n
pomocí součtu vhodné mocninné řady.
Příklad 12 (5 bodů). Vyřešte diferenciální rovnici
y -
y
x
= tg
y
x
,
přičemž nemusíte uvádět singulární řešení.