Písemná zkouška z MB102 ­ 10. 1. 2008
Část I. (Celkem 9 bodů.)
Část I. A. (Celkem 3 body.)
Tvrzení 1. Pro libovolnou neprázdnou shora ohraničenou množinu M  R je sup M
prvkem množiny M, právě když existuje x  M takové, že x  m pro každé m  M.
Tvrzení 2. Nerovnost
1
-1
f(x) dx  0 má smysl a je splněna pro libovolnou lichou
funkci, která je spojitá na intervalu [-1, 1].
Tvrzení 3. Poloměr konvergence mocninné řady

n=0
2n - 1
(2n)!
x2n+3
je roven +.
Část I. B. (Celkem 3 body.)
Tvrzení 4. Alespoň jeden reálný kořen polynomu
x44
+ 5x32
- 4x9
+ 5x4
- 2x - 3
leží v intervalu (-1, 1).
Tvrzení 5. K funkci f(x) = | x |3
, x  R neexistuje na R ani jedna primitivní funkce.
Tvrzení 6. Nechť je dána funkce F, která je spojitá na R2
. Pak má počáteční úloha
y = F(x, y), y(x0) = y0 alespoň jedno řešení pro libovolná x0, y0  R.
Část I. C. (Celkem 3 body.)
Tvrzení 7. Existují reálné funkce f, g definované pro x  0 takové, že je
lim
x+
f (x) = 0, lim
x+
g (x) = 0 a zároveň je lim
x+
f (x)  g(x) = 1.
Tvrzení 8. Nechť je dán interval I = [a, b], přičemž a < b, a, b  R. Potom každá
funkce integrovatelná na I nabývá své průměrné hodnoty na I v nějakém bodě tohoto
intervalu, tj. existuje c  [a, b] takové, že
f(c) =
1
b - a
b
a
f(x) dx.
Tvrzení 9. Platí 
n=0
1
4n+2
=
1
12
.
Výsledky Tvrzení 1­9. Správné odpovědi jsou
1, 2, 3, 4, 6, 9 platí; 5, 7, 8 neplatí.
Část II. (Celkem 11 bodů.)
Úloha 10 (2 body). Jaká je definice Lagrangeova interpolačního polynomu, jsou-li
zadány (funkční) hodnoty y0, . . . , yn  R v navzájem různých bodech x0, . . . , xn  R?
Výsledek. Viz str. 2­3 ve skriptu doc. Hilschera.
Úloha 11 (2 body). Udejte příklad funkce g definované na celé reálné ose a spojité
ve všech reálných bodech s výjimkou bodů x0 = -1, x1 = 0, x2 = 1, přičemž v bodě x0 má
odstranitelnou nespojitost, v bodě x1 nastává skok a v bodě x2 má nespojitost druhého
druhu.
Výsledek. Nechť např.
g(x) := 0, x  (-, 0] {-1};
g(x) := 1, x  (0, 1]  {-1};
g(x) :=
1
x - 1
, x  (1, +).
Úloha 12 (1 bod). Uveďte Lagrangeovu větu pro funkci f se spojitou derivací na
intervalu [-10, 10].
Výsledek. Viz podkapitolu 2.10 ve skriptu doc. Hilschera.
Úloha 13 (1 bod). Napište metodu per partes pro neurčitý integrál.
Výsledek. Viz větu označenou jako ,,Metoda per-partes pro neurčitý integrál" v úvodu
podkapitoly 3.2 ve skriptu doc. Hilschera.
Úloha 14 (2 body). Rozhodněte, které z těchto tří čísel (hodnot integrálů)
-2
2
| x - 1 | dx,

sin
x dx,
1
0
cos x
x
dx
je největší a které nejmenší.
Výsledek. Zjevně je
-2
2
| x - 1 | dx <

sin
x dx = 0 <
1
0
cos x
x
dx.
Úloha 15 (3 body). Uveďte integrální kritérium pro zjištění konvergence (divergence)
číselných řad s nezápornými členy. Pro jaká   R nekonečná řada

n=1
n-
konverguje?
Výsledek. Viz větu nazvanou ,,Integrální kritérium" v podkapitole 4.2 ve skriptu doc. Hilschera.
Uvedená řada konverguje právě pro  > 1.
Část III. (Celkem 10 bodů.)
Doplňme, že vyšetřením průběhu funkce f v níže uvedeném příkladu se rozumí ,,udat
definiční obor a obor hodnot; případnou lichost, sudost, periodicitu; určit body nespojitosti
a jejich druh včetně příslušných jednostranných limit (pokud existují), nulové body (pokud
existují) a intervaly, kde je funkce kladná a kde záporná; stanovit první (a druhou, je-li
potřeba) derivaci; intervaly, na kterých funkce roste, klesá, či je konstantní; všechny stacionární
a inflexní body; všechny lokální extrémy (pokud existují); intervaly, kde je funkce
konvexní a kde konkávní; všechny asymptoty; vypočítat hodnoty ve význačných bodech
(tím se rozumí vyčíslit funkci ve stacionárních a v inflexních bodech a nalézt průsečíky
s osami, existují-li); načrtnout její graf".
Příklad 16 (10 bodů). Vyšetřete průběh funkce
f(x) =
ln x2
x
.
Výsledek. Zadaná funkce je definována i spojitá na R {0}. Je lichá; není sudá ani
periodická. Je kladná právě na intervalech (-1, 0), (1, +). V počátku má nespojitost
druhého druhu a oborem hodnot f je R, neboť průsečíky Gr f s osami jsou body [-1, 0],
[1, 0] a neboť
lim
x0+
f(x) = -, lim
x0f(x)
= +.
Lehce lze ukázat, že
f (x) =
2 - ln x2
x2
, x  R {0};
f (x) =
2 (ln x2
- 3)
x3
, x  R {0}.
Stacionárními body jsou e. Funkce f roste na intervalech [-e, 0), (0, e]; klesá na intervalech
(-, -e], [e, +). V bodě x = -e má tudíž lokální minimum y = -2/e; v bodě x = e
lokální maximum y = 2/e. Je konvexní na intervalech [-

e3, 0), [

e3, +); konkávní na
intervalech (-, -

e3], (0,

e3]. Proto oba nulové body 

e3 druhé derivace funkce f
jsou jejími inflexními body, přičemž
f -

e3 = -
3

e3
, f

e3 =
3

e3
.
Asymptotou bez směrnice je přímka x = 0 (v bodě 0); přímka y = 0 je potom asymptotou
se směrnicí v , tj. lim
x
f(x) = 0.
Část IV. (Celkem 20 bodů.)
Příklad 17 (3 body). Napište rovnici tečny ke grafu funkce
f(x) = x x

x + xx
, x > 0
v bodě [1, 2].
Výsledek. Protože
f (x) =
7
8
x- 1
8 + xx
(ln x + 1) pro všechna x > 0,
je rovnice tečny
y - 2 =
15
8
(x - 1).
Příklad 18 (4 body). Najděte Taylorův polynom stupně 3 (tedy polynom stupně
nejvýše 3) funkce f(x) = x2
cos (x2
) se středem v bodě x0 = 0. Poté vypočtěte
lim
x0f(x)
- x2
x3
.
Nápověda: Lze např. využít vyjádření funkce f ve tvaru Maclaurinova rozvoje 
n=0 an xn
.
Výsledek. Příslušný Taylorův polynom je x2
, neboť platí
f(x) =

n=0
(-1)n x4n+2
(2n)!
, x  R.
Odtud rovněž získáváme
lim
x0f(x)
- x2
x3
= 0.
Příklad 19 (3 body). Spočítejte
ex
e2x + 3
+
1
cos2 x
dx.
Výsledek. Je
ex
e2x + 3
+
1
cos2 x
dx =

3
3
arctg

3 ex
3
+ tg x + C,
kde C  R. Uvažte substituci t = ex
.
Příklad 20 (3 body). Vyčíslete
+
1
dx
x3 + x
.
Výsledek. Rozkladem na parciální zlomky pro x  [1, +) dostáváme
1
x3 + x
=
-x
x2 + 1
+
1
x
.
Integrováním lze pak obdržet výsledek
ln 2
2
.
Příklad 21 (3 body). Určete pro jaké hodnoty parametru   R absolutně konverguje
řada

n=1
(-1)n en

3n3 + 113 + 3n3 + 111
.
Výsledek. Daná řada konverguje absolutně právě pro   0.
Příklad 22 (4 body). Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice
y +
1 - 2x
x2
y = 1.
Poté nalezněte řešení splňující podmínku y(1) = 1.
Výsledek. Řešeními dané rovnice jsou funkce
C x2
e
1
x + x2
pro C  R.
Tudíž partikulárním řešením splňujícím podmínku y(1) = 1 je
y(x) = x2
.
Část V. (Celkem 10 bodů za 2 příklady ze 3.)
Příklad 23 (5 bodů). Mezi obdélníky, jejichž dva vrcholy leží na ose x a další dva
(s kladnými druhými souřadnicemi, tj. nad osou x) na parabole y = 8 - 2x2
, najděte
obdélník s maximálním obsahem. Uveďte délky jeho stran.
Výsledek. Základna obdélníku s maximálním obsahem měří 4/

3; jeho výška pak 16/3.
To lze ukázat nalezením globálního maxima funkce x (8 - 2x2
) na intervalu I = [0, 2]. Neboť
tato funkce je na I spojitá, nezáporná, v krajních bodech I nulová a má derivaci na
celém I, přičemž její derivace je nulová pouze v jednom bodě, a to v bodě 2/

3, nabývá
zde maximální hodnoty.
Příklad 24 (5 bodů). Vypočítejte délku grafu funkce ln (1 - x2
) na intervalu [0, 1
2
].
Výsledek. Délka grafu zadané funkce na intervalu [0, 1
2
] je
ln 3 -
1
2
.
Příklad 25 (5 bodů). Sečtěte

n=1
2n - 1
(-2)n-1
pomocí součtu mocninné řady 
n=0(-1)n
(2n + 1) x2n
pro | x | < 1.
Výsledek. Z rovnosti

n=0
(-1)n
(2n + 1) x2n
=
1 - x2
(1 + x2)2
pro | x | < 1
volbou x =

2/2 = 1/

2 vyplývá

n=1
2n - 1
(-2)n-1 =

n=0
(-1)n
(2n + 1)
1

2
2n
=
2
9
.