Písemná zkouška z MB102 ­ 10. 1. 2008 ­ TEORIE
Zadání si ponecháváte. Odevzdáváte pouze (řádně vyplněný) přiložený list.
Část I. (Celkem 9 bodů.)
Ohledně instrukcí viz(te) přiložený list!
Část I. A. (Celkem 3 body.)
Tvrzení 1. Pro libovolnou neprázdnou shora ohraničenou množinu M  R je sup M
prvkem množiny M, právě když existuje x  M takové, že x  m pro každé m  M.
Tvrzení 2. Nerovnost
1
-1
f(x) dx  0 má smysl a je splněna pro libovolnou lichou
funkci, která je spojitá na intervalu [-1, 1].
Tvrzení 3. Poloměr konvergence mocninné řady

n=0
2n - 1
(2n)!
x2n+3
je roven +.
Část I. B. (Celkem 3 body.)
Tvrzení 4. Alespoň jeden reálný kořen polynomu
x44
+ 5x32
- 4x9
+ 5x4
- 2x - 3
leží v intervalu (-1, 1).
Tvrzení 5. K funkci f(x) := | x |3
, x  R neexistuje na R ani jedna primitivní funkce.
Tvrzení 6. Nechť je dána funkce F, která je spojitá na R2
. Každá diferenciální rovnice
prvního řádu y = F(x, y) opatřená počáteční podmínkou, tj. každá počáteční úloha každé
diferenciální rovnice y = F(x, y), má alespoň jedno řešení.
Část I. C. (Celkem 3 body.)
Tvrzení 7. Existují reálné funkce f, g definované pro x  0 takové, že je
lim
x+
f (x) = 0, lim
x+
g (x) = 0 a zároveň je lim
x+
f (x)  g(x) = 1.
Tvrzení 8. Nechť je dán interval I = [a, b], přičemž a < b, a, b  R. Potom každá
funkce integrovatelná na I nabývá své průměrné hodnoty na I v nějakém bodě tohoto
intervalu, tj. existuje c  [a, b] takové, že
f(c) =
1
b - a
b
a
f(x) dx.
Tvrzení 9. Platí 
n=0
1
4n+2
=
1
12
.
Část II. (Celkem 11 bodů.)
Úloha 10 (2 body). Jaká je definice Lagrangeova interpolačního polynomu, jsou-li
zadány (funkční) hodnoty y0, . . . , yn  R v navzájem různých bodech x0, . . . , xn  R?
Úloha 11 (2 body). Udejte příklad funkce g definované na celé reálné ose a spojité
ve všech reálných bodech s výjimkou bodů x0 = -1, x1 = 0, x2 = 1, přičemž v bodě x0 má
odstranitelnou nespojitost, v bodě x1 nastává skok a v bodě x2 má nespojitost druhého
druhu.
Úloha 12 (1 bod). Uveďte Lagrangeovu větu pro funkci f se spojitou derivací na
intervalu [-10, 10].
Úloha 13 (1 bod). Napište metodu per partes pro neurčitý integrál.
Úloha 14 (2 body). Rozhodněte, které z těchto tří čísel (hodnot integrálů)
-2
2
| x - 1 | dx,

sin
x dx,
1
0
cos x
x
dx
je největší a které nejmenší.
Úloha 15 (3 body). Uveďte integrální kritérium pro zjištění konvergence (divergence)
číselných řad s nezápornými členy. Pro jaká   R nekonečná řada

n=1
n-
konverguje?
Písemná zkouška z MB102 ­ 10. 1. ­ PŘÍKLADY
Zadání si ponecháváte. Všechny listy, které budete odevzdávat, čitelně podepište. Zároveň
uveďte také svoje UČO.
Část III. (Celkem 10 bodů.)
Doplňme, že vyšetřením průběhu funkce f v níže uvedeném příkladu se rozumí ,,udat
definiční obor a obor hodnot; případnou lichost, sudost, periodicitu; určit body nespojitosti
a jejich druh včetně příslušných jednostranných limit (pokud existují), nulové body (pokud
existují) a intervaly, kde je funkce kladná a kde záporná; stanovit první (a druhou, je-li
potřeba) derivaci; intervaly, na kterých funkce roste, klesá, či je konstantní; všechny stacionární
a inflexní body; všechny lokální extrémy (pokud existují); intervaly, kde je funkce
konvexní a kde konkávní; všechny asymptoty; vypočítat hodnoty ve význačných bodech
(tím se rozumí vyčíslit funkci ve stacionárních a v inflexních bodech a nalézt průsečíky
s osami, existují-li); načrtnout její graf".
Příklad 16 (10 bodů). Vyšetřete průběh funkce
f(x) =
ln x2
x
.
Část IV. (Celkem 20 bodů.)
Příklad 17 (3 body). Napište rovnici tečny ke grafu funkce
f(x) = x x

x + xx
, x > 0
v bodě [1, 2].
Příklad 18 (4 body). Najděte Taylorův polynom stupně 3 (tedy polynom stupně
nejvýše 3) funkce f(x) = x2
cos (x2
) se středem v bodě x0 = 0. Poté vypočtěte
lim
x0f(x)
- x2
x3
.
Nápověda: Lze např. využít vyjádření funkce f ve tvaru Maclaurinova rozvoje 
n=0 an xn
.
Příklad 19 (3 body). Spočítejte
ex
e2x + 3
+
1
cos2 x
dx.
Příklad 20 (3 body). Vyčíslete
+
1
dx
x3 + x
.
Příklad 21 (3 body). Určete pro jaké hodnoty parametru   R absolutně konverguje
řada

n=1
(-1)n en

3n3 + 113 + 3n3 + 111
.
Příklad 22 (4 body). Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice
y +
1 - 2x
x2
y = 1.
Poté nalezněte řešení splňující podmínku y(1) = 1.
Část V. (Celkem 10 bodů.)
Počítáte 2 příklady ze 3 dle vlastní volby!
Příklad 23 (5 bodů). Mezi obdélníky, jejichž dva vrcholy leží na ose x a další dva
(s kladnými druhými souřadnicemi, tj. nad osou x) na parabole y = 8 - 2x2
, najděte obdélník
s maximálním obsahem. Uveďte délky jeho stran.
Příklad 24 (5 bodů). Vypočítejte délku grafu funkce ln (1 - x2
) na intervalu [0, 1
2
].
Příklad 25 (5 bodů). Sečtěte

n=1
2n - 1
(-2)n-1
pomocí součtu mocninné řady 
n=0(-1)n
(2n + 1) x2n
pro | x | < 1.