Písemná zkouška z MB102 ­ 16. 1. 2008 Část I. (Celkem 9 bodů.) Část I. A. (Celkem 3 body.) Tvrzení 1. Pokud pro libovolnou funkci f mající spojitou derivaci třetího řádu v okolí nějakého reálného bodu x platí f(x) = 0, f (x) = 1, f (x) = 0, f(3) (x) = -1, potom je bod x inflexním bodem funkce f. Tvrzení 2. Existuje monotónní funkce f na intervalu I = [-2, 5], která není integrovatelná na I. Tvrzení 3. Jestliže mocninná řada se středem x0 = 0 konverguje v bodě x = c = 0, pak konverguje absolutně ve všech bodech intervalu (-c, c). Část I. B. (Celkem 3 body.) Tvrzení 4. Existuje nekonečně mnoho polynomů nejvýše třetího stupně, které prochází body [0,0], [-1,1], [2,4], ale pouze jeden z nich je druhého stupně. Tvrzení 5. Je-li funkce f primitivní funkcí k nějaké sudé funkci na R, pak je f lichá. Tvrzení 6. Řada n=1 (-1)n+1 1 n 3 n je absolutně konvergentní. Část I. C. (Celkem 3 body.) Tvrzení 7. Funkce f(x) = ex - 1 x , x R {0} má v bodě x = 0 nespojitost 2. druhu. Tvrzení 8. Nevlastní integrál 1 0 1 x dx konverguje. Tvrzení 9. Diferenciální rovnice y + 2y - 3x = arctg (ln x2 + 3y) má alespoň 1 řešení splňující počáteční podmínku y(1) = 1. Výsledky Tvrzení 1­9. Správné odpovědi jsou 1, 3, 4, 6, 9 platí; 2, 5, 7, 8 neplatí. Část II. (Celkem 11 bodů.) Úloha 10 (2 body). Uveďte tvar rozkladu na parciální zlomky racionální lomené funkce 2x2 - 114 (x - 2) x2 (3x2 + x + 4)2 . Neurčité koeficienty nepočítejte! Výsledek. Hledaný tvar rozkladu zadané funkce je 2x2 - 114 (x - 2) x2 (3x2 + x + 4)2 = A x - 2 + B x2 + C x + Dx + E (3x2 + x + 4)2 + Fx + G 3x2 + x + 4 pro nějaké A, B, C, D, E, F, G R. Úloha 11 (3 body). Napište definici derivace f funkce f v bodě x0. Přímo z této definice pro f(x) = x spočtěte f v libovolném bodě x0 > 0. Výsledek. Viz Definici 7 a Příklad 39 v podkapitole 2.7 ve skriptu doc. Hilschera. Úloha 12 (1 bod). Zaveďte funkci f na intervalu I = [-1, 1] tak, aby k ní na I neexistovala žádná primitivní funkce. Výsledek. Nechť např. funkce f nabývá hodnoty 1 v racionálních bodech intervalu I a je nulová v iracionálních. Úloha 13 (2 body). Pro libovolná reálná čísla a < 0, b > 0 vypočtěte b a sgn x dx. Připomeňme, že sgn x = 1, je-li x > 0; sgn x = -1, je-li x < 0; a sgn 0 = 0. Výsledek. Platí b a sgn x dx = a + b. Úloha 14 (2 body). Formulujte Leibnizovo kritérium konvergence alternující řady. Poté určete, zda řada n=1 (-1)n-1 3n4 - 3n3 + 9n - 1 (5n3 - 2) 4n konverguje. Výsledek. Viz podkapitolu 4.3 ve skriptu doc. Hilschera. Uvedená řada konverguje. Úloha 15 (1 bod). Udejte příklad divergentních číselných řad n=1 an, n=1 bn s kladnými členy, pro které řada n=1 (3an - 2bn) absolutně konverguje. Výsledek. Položme např. an := n 3 a bn := n 2 pro n N. Část III. (Celkem 10 bodů.) Doplňme, že vyšetřením průběhu funkce f v níže uvedeném příkladu se rozumí ,,udat definiční obor a obor hodnot; případnou lichost, sudost, periodicitu; spočítat limity lim xf(x) a lim x+ f(x), jestliže existují; určit nulové body (pokud existují) a intervaly, kde je funkce kladná a kde záporná; stanovit první (a druhou, je-li potřeba) derivaci; intervaly, na kterých funkce roste, klesá, či je konstantní; všechny stacionární a inflexní body; všechny lokální extrémy (pokud existují); intervaly, kde je funkce konvexní a kde konkávní; všechny asymptoty; vypočítat hodnoty ve význačných bodech (tím se rozumí vyčíslit funkci ve stacionárních bodech a v bodech, ve kterých neexistuje první či druhá derivace, a nalézt průsečíky s osami); načrtnout její graf". Příklad 16 (10 bodů). Vyšetřete průběh funkce f(x) = 3 x e-x . Výsledek. Funkce je definována i spojitá na celém R. Není lichá, sudá ani periodická. Nabývá kladných hodnot na kladné poloose, záporných na záporné. Jediným průsečíkem Gr f s osami je bod [0, 0]. Platí f (x) = e-x 3 3 x2 - 3 x e-x , x R {0}, f (0) = +; f (x) = 3 x e-x - 2e-x 3 3 x2 - 2e-x 9 3 x5 , x R {0}. Jediným nulovým bodem první derivace je 1/3. Funkce f roste na intervalu (-, 1/3]; klesá na intervalu [1/3, +). V bodě 1/3 má tudíž globální maximum 1/ 3 3e. Neboť lim xf(x) = -, jejím oborem hodnot je interval (-, 1/ 3 3e]. Funkce f je konvexní na intervalech [(1 - 3)/3, 0], [(1 + 3)/3, +); konkávní na intervalech (-, (1 - 3)/3], [0, (1 + 3)/3]. Proto inflexní body jsou (1 - 3)/3, 0, (1 + 3)/3. Jedinou asymptotou je přímka y = 0 v +, tj. lim x+ f(x) = 0. Část IV. (Celkem 20 bodů.) Příklad 17 (4 body). Stanovte Hermitův interpolační polynom, je-li požadováno: x0 = -1, x1 = 1, y0 = -9, y1 = -1, y0 = 10, y1 = 2. Výsledek. Hledaný polynom je x3 - 2x2 + 3x - 3. Příklad 18 (3 body). Určete lim x 2 - 2 - x tg x. Výsledek. Pomocí ľHospitalova pravidla lze ukázat, že lim x 2 - 2 - x tg x = 1. Příklad 19 (3 body). Vypočítejte 0 sin x cos2 x + 1 dx. Výsledek. Platí 0 sin x cos2 x + 1 dx = 2 . Uvažte substituci t = cos x. Příklad 20 (4 body). Vyčíslete nevlastní integrál 1 -1 ln | x | dx. Výsledek. Výsledek je -2. Příklad 21 (3 body). Sečtěte 1 1 3 + 1 3 5 + = n=1 1 (2n - 1)(2n + 1) . Výsledek. Protože pro všechna n N je 1 (2n - 1)(2n + 1) = 1 2(2n - 1) - 1 2(2n + 1) , platí n=1 1 (2n - 1)(2n + 1) = lim n+ 1 2 1 - 1 2n + 1 = 1 2 . Příklad 22 (3 body). Ze znalosti součtu geometrické řady odvoďte Maclaurinovu řadu funkce 1 5 + 2x a určete její poloměr konvergence. Výsledek. Právě pro x -5 2 , 5 2 je 1 5 + 2x = 1 5 n=0 - 2 5 n xn . Část V. (Celkem 10 bodů za 2 příklady ze 3.) Příklad 23 (5 bodů). Rozlehlý vojenský prostor (nadále zkracujme VP) s půdorysem čtverce o rozloze 100 km2 je kolem dokola ohraničenou úzkou cestou. Z výchozího místa v jednom rohu VP se lze dostat do cílového místa uvnitř VP tak, že půjdeme 5 km po cestě a poté 2 km kolmo k ní. Přitom můžeme jít libovolnou dobu (menší než 2 hod. rovně) po cestě rychlostí 5 km za hodinu a potom šikmo přes VP rychlostí 3 km za hodinu. Kolik (kilo)metrů máme jít po cestě, abychom došli na místo určení co nejdříve? Výsledek. K tomu, abychom po cestě ušli x [0, 5] km, potřebujeme x/5 hodin. Naše cesta přes VP pak bude měřit y = 22 + (5 - x)2 = x2 - 10x + 29 km a ujdeme ji za y/3 hodin. Celkem tedy bude naše cesta trvat f(x) = 1 5 x + 1 3 x2 - 10x + 29 hodin (připomeňme, že x [0, 5]). Jediný nulový bod funkce f (x) = 1 5 + 1 3 x - 5 x2 - 10x + 29 je číslo 7/2. Protože je f definována (dokonce spojitá) na intervalu [0, 5] a protože f 7 2 = 23 15 < f(5) = 5 3 < f(0) = 29 3 , funkce f nabývá v bodě 7/2 svého minima. Po cestě bychom tudíž měli jít 3,5 km. Příklad 24 (5 bodů). Vypočtěte obsah pláště rotačního tělesa vzniklého rotací plochy ohraničené grafem funkce f a osou x na intervalu [0, 2] kolem osy x, je-li f(x) = x3 6 , x R. Výsledek. Výsledek je 2 9 53 - 1 . Příklad 25 (5 bodů). Najděte: (a) rovnice křivek s konstantní subnormálou (rovnou hodnotě a R) ve všech jejich bodech, tj. obecné řešení rovnice y y = a; (b) všechny (implicitně zadané) funkce y = f(x), pro které v libovolném jejich bodě [x0, y0] platí, že podíl y0/f (x0) je čtyřikrát větší než x0. Výsledek. Ve druhém případě řešíme diferenciální rovnici y y = 4x. Snadno se ukáže, že řešeními jsou: (a) Křivky y2 = 2ax + C pro C R. (b) Křivky y4 = Dx, kde D R {0}.