Písemná zkouška z MB102 ­ 16. 1. 2008
Zadání si ponecháváte. Odevzdáváte pouze (řádně vyplněný) přiložený list.
Část I. (Celkem 9 bodů.)
Ohledně instrukcí viz(te) přiložený list!
Část I. A. (Celkem 3 body.)
Tvrzení 1. Pokud pro libovolnou funkci f mající spojitou derivaci třetího řádu v okolí
nějakého reálného bodu x platí
f(x) = 0, f (x) = 1, f (x) = 0, f(3)
(x) = -1,
potom je bod x inflexním bodem funkce f.
Tvrzení 2. Existuje monotónní funkce f na intervalu I = [-2, 5], která není integrovatelná
na I.
Tvrzení 3. Jestliže mocninná řada se středem x0 = 0 konverguje v bodě x = c = 0,
pak konverguje absolutně ve všech bodech intervalu (-c, c).
Část I. B. (Celkem 3 body.)
Tvrzení 4. Existuje nekonečně mnoho polynomů nejvýše třetího stupně, které prochází
body [0,0], [-1,1], [2,4], ale pouze jeden z nich je druhého stupně.
Tvrzení 5. Je-li funkce f primitivní funkcí k nějaké sudé funkci na R, pak je f lichá.
Tvrzení 6. Řada 
n=1
(-1)n+1 1
n 3

n
je absolutně konvergentní.
Část I. C. (Celkem 3 body.)
Tvrzení 7. Funkce
f(x) =
ex
- 1
x
, x  R {0}
má v bodě x = 0 nespojitost 2. druhu.
Tvrzení 8. Nevlastní integrál
1
0
x-1
dx konverguje.
Tvrzení 9. Diferenciální rovnice y + 2y - 3x = arctg (ln x2
+ 3y) má alespoň 1 řešení
splňující počáteční podmínku y(1) = 1.
Část II. (Celkem 11 bodů.)
Úloha 10 (2 body). Uveďte tvar rozkladu na parciální zlomky racionální lomené
funkce
2x2
- 114
(x - 2) x2 (3x2 + x + 4)2
.
Neurčité koeficienty nepočítejte!
Úloha 11 (3 body). Napište definici derivace f funkce f v bodě x0. Přímo z této
definice pro f(x) =

x spočtěte f v libovolném bodě x0 > 0.
Úloha 12 (1 bod). Zaveďte funkci f na intervalu I = [-1, 1] tak, aby k ní na I
neexistovala žádná primitivní funkce.
Úloha 13 (2 body). Pro libovolná reálná čísla a < 0, b > 0 vypočtěte
b
a
sgn x dx.
Připomeňme, že sgn x = 1, je-li x > 0; sgn x = -1, je-li x < 0; a sgn 0 = 0.
Úloha 14 (2 body). Formulujte Leibnizovo kritérium konvergence alternující řady.
Poté určete, zda řada

n=1
(-1)n-1 3n4
- 3n3
+ 9n - 1
(5n3 - 2) 4n
konverguje.
Úloha 15 (1 bod). Udejte příklad divergentních číselných řad

n=1
an,

n=1
bn s kladnými
členy, pro které řada

n=1
(3an - 2bn)
absolutně konverguje.
Písemná zkouška z MB102 ­ 16. 1. 2008
Zadání si ponecháváte. Všechny listy, které budete odevzdávat, čitelně podepište. Zároveň
uveďte také svoje UČO.
Část III. (Celkem 10 bodů.)
Doplňme, že vyšetřením průběhu funkce f v níže uvedeném příkladu se rozumí ,,udat definiční
obor a obor hodnot; případnou lichost, sudost, periodicitu; spočítat limity lim
x-
f(x),
lim
x+
f(x), jestliže existují; určit nulové body (pokud existují) a intervaly, kde je funkce
kladná a kde záporná; stanovit první (a druhou, je-li potřeba) derivaci; intervaly, na kterých
funkce roste, klesá, či je konstantní; všechny stacionární a inflexní body; všechny lokální
extrémy (pokud existují); intervaly, kde je funkce konvexní a kde konkávní; všechny
asymptoty; vypočítat hodnoty ve význačných bodech (tím se rozumí vyčíslit funkci ve
stacionárních bodech a v bodech, ve kterých neexistuje první či druhá derivace, a nalézt
průsečíky s osami); načrtnout její graf".
Příklad 16 (10 bodů). Vyšetřete průběh funkce
f(x) = 3

x e-x
.
Část IV. (Celkem 20 bodů.)
Příklad 17 (4 body). Stanovte Hermitův interpolační polynom, je-li požadováno:
x0 = -1, x1 = 1, y0 = -9, y1 = -1, y0 = 10, y1 = 2.
Příklad 18 (3 body). Určete
lim
x 
2
-

2
- x tg x.
Příklad 19 (3 body). Vypočítejte

0
sin x
cos2 x + 1
dx.
Příklad 20 (4 body). Vyčíslete nevlastní integrál
1
-1
ln | x | dx.
Příklad 21 (3 body). Sečtěte
1
1  3
+
1
3  5
+    =

n=1
1
(2n - 1)(2n + 1)
.
Příklad 22 (3 body). Ze znalosti součtu geometrické řady odvoďte Maclaurinovu
řadu funkce
1
5 + 2x
a určete její poloměr konvergence.
Část V. (Celkem 10 bodů.)
Počítáte 2 příklady ze 3 dle vlastní volby!
Příklad 23 (5 bodů). Rozlehlý vojenský prostor (nadále zkracujme VP) s půdorysem
čtverce o rozloze 100 km2
je kolem dokola ohraničenou úzkou cestou. Z výchozího místa
v jednom rohu VP se lze dostat do cílového místa uvnitř VP tak, že půjdeme 5 km po cestě
a poté 2 km kolmo k ní. Přitom můžeme jít libovolnou dobu (menší než 2 hod. rovně) po
cestě rychlostí 5 km za hodinu a potom šikmo přes VP rychlostí 3 km za hodinu. Kolik
(kilo)metrů máme jít po cestě, abychom došli na místo určení co nejdříve?
Příklad 24 (5 bodů). Vypočtěte obsah pláště rotačního tělesa vzniklého rotací plochy
ohraničené grafem funkce f a osou x na intervalu [0, 2] kolem osy x, je-li
f(x) =
x3
6
, x  R.
Příklad 25 (5 bodů). Najděte:
(a) rovnice křivek s konstantní subnormálou (rovnou hodnotě a  R) ve všech jejich
bodech, tj. obecné řešení rovnice y y = a;
(b) všechny (implicitně zadané) funkce y = f(x), pro které v libovolném jejich bodě
[x0, y0] platí, že podíl y0/f (x0) je čtyřikrát větší než x0.