Písemná zkouška z MB102 ­ 24. 1. 2008
Část I. (Celkem 9 bodů.)
Část I. A. (Celkem 3 body.)
Tvrzení 1. Má-li funkce f v bodě x0  R vlastní obě jednostranné limity, pak je f na
nějakém ryzím okolí bodu x0 ohraničená.
Tvrzení 2. Pro libovolnou funkci f spojitou a ohraničenou na intervalu (0, 10) je
10
0
f(x) dx 
10
0
| f(x) | dx.
Tvrzení 3. Maclaurinova řada libovolného polynomu má konečný počet nenulových
členů.
Část I. B. (Celkem 3 body.)
Tvrzení 4. Funkce
f(x) = cos(cos(sin(-3x + 2))) + arctg 2x2
+ 3  e-3x+2
, x  R
je diferencovatelná na celém R.
Tvrzení 5. K funkci
ln x
x
existuje na intervalu (0, 1) primitivní funkce, která je vyšší funkcí, tj. není vyjádřitelná
pomocí elementárních funkcí.
Tvrzení 6. Řada 
n=1
n

n diverguje k +.
Část I. C. (Celkem 3 body.)
Tvrzení 7. Libovolný polynom p je rostoucí v bodě x = 2, právě když je p (2) > 0.
Tvrzení 8. Existuje funkce f, která má derivaci na intervalu I = [-2, 2] a pro kterou
je dolní integrál z f na I ostře menší než horní integrál z f na I.
Tvrzení 9. Rovnice
y = 2x + 7y - 6y
je lineární diferenciální rovnicí 2. řádu.
Výsledky Tvrzení 1­9. Správné odpovědi jsou
1, 2, 3, 4, 6, 9 platí; 5, 7, 8 neplatí.
Část II. (Celkem 11 bodů.)
Úloha 10 (2 body). Udejte příklad množin A, B, C  R takových, aby platilo
A  B = , A  C = , B  C =  a sup A = inf B = inf C = sup C.
Výsledek. Množina C musí být jednoprvková. Nechť tedy např. C := {0}. Nyní můžeme
zřejmě zvolit A := (-1, 0), B := (0, 1).
Úloha 11 (1 bod). Napište Weierstrassovu větu pro funkci f, která je spojitá na intervalu
[a, b], přičemž a < b, a, b  R.
Výsledek. Viz takto nazvanou větu v podkapitole 2.5 ve skriptu doc. Hilschera.
Úloha 12 (3 body). Nakreslete grafy funkcí
f(x) = e-| x |
, x  R; g(x) = ln | x |, x = 0, x  R.
Výsledek. Uvědomíte-li si, že obě zadané funkce jsou sudé, k vykreslení grafů f a g
postačuje znát grafy funkcí ex
, x  (-, 0] a ln x, x  (0, +). Viz Obrázek 11 na str. 6
ve skriptu Mgr. Hasila.
Úloha 13 (1 bod). Kolik existuje různých primitivních funkcí k f(x) = cos (ln x)
na (0, 10)?
Výsledek. Nekonečně mnoho. Přesněji řečeno, právě tolik, kolik je reálných čísel.
Úloha 14 (2 body). Vyjádřete bez symbolů derivace a integrace výraz
0
x
t5
ln (t + 1) dt
pro x  (-1, 1), je-li derivováno podle x.
Výsledek. Platí
0
x
t5
ln (t + 1) dt = -x5
ln (x + 1), | x | < 1.
Viz podkapitolu 3.7 ve skriptu doc. Hilschera.
Úloha 15 (2 body). Definujte geometrickou řadu. Poté uveďte, za jakých podmínek
konverguje a jaký je v tomto případě její součet.
Výsledek. Viz začátek podkapitoly 4.1 ve skriptu doc. Hilschera a tvrzení nazvané ,,Konvergence
a součet geometrické řady" tamtéž.
Část III. (Celkem 10 bodů.)
Doplňme, že vyšetřením průběhu funkce f v níže uvedeném příkladu se rozumí ,,udat
definiční obor a obor hodnot; případnou lichost, sudost, periodicitu; spočítat limity
lim
xf(x)
a lim
x+
f(x),
jestliže existují; určit body nespojitosti a jejich druh včetně příslušných jednostranných
limit (pokud existují), nulové body (pokud existují) a intervaly, kde je funkce kladná a kde
záporná; stanovit první (a druhou, je-li potřeba) derivaci; intervaly, na kterých funkce
roste, klesá, či je konstantní; všechny stacionární a inflexní body; všechny lokální extrémy
(pokud existují); intervaly, kde je funkce konvexní a kde konkávní; všechny asymptoty;
vypočítat hodnoty ve význačných bodech (tím se rozumí vyčíslit funkci ve stacionárních
a v inflexních bodech a nalézt průsečíky s osami, existují-li); načrtnout její graf".
Příklad 16 (10 bodů). Vyšetřete průběh funkce
f(x) = arctg
x
2 - x
.
Výsledek. Funkce je definována i spojitá na R {2}. Není lichá, sudá ani periodická. Je
kladná právě na intervalu (0, 2). Jediným průsečíkem Gr f s osami je bod [0, 0]. V bodě
x = 2 nastává skok, protože
lim
x2f(x)
=

2
, lim
x2+
f(x) = -

2
.
Platí
f (x) =
1
x2 - 2x + 2
, x  R {2};
f (x) =
2 (1 - x)
(x2 - 2x + 2)2
, x  R {2}.
První derivace nemá nulový bod. Funkce f proto roste v každém bodě svého definičního
oboru. Neboť
lim
xf(x)
= -

4
, lim
x+
f(x) = -

4
,
je oborem hodnot množina (-/2, /2) {-/4}. Funkce f je konvexní na intervalu
(-, 1]; konkávní na intervalech [1, 2), (2, +). Bod x = 1 je tedy jediným inflexním
bodem, přičemž f(1) = /4. Jedinou asymptotou je přímka y = -/4 v .
Část IV. (Celkem 20 bodů.)
Příklad 17 (3 body). Nalezněte polynom p nejvýše třetího stupně, pro který platí
p(0) = 1, p(1) = 0, p(2) = 1, p(3) = 10.
Výsledný polynom uveďte ve tvaru ax3
+ bx2
+ cx + d.
Výsledek. Hodnoty koeficientů jsou
a = 1, b = -2, c = 0, d = 1.
Příklad 18 (3 body). Určete derivaci funkce y = f(x) zadané rovnicí
ln x2 + y2 = arctg
y
x
.
Výsledek. Platí
y =
x + y
x - y
.
Příklad 19 (5 bodů). Pro x  (0, 1) vypočtěte
x2
+ 1
x (x2 - 1)
+ 2x
+
3

4 - 4x2
+ 4 sin x - 5 cos x dx.
Výsledek. Lehce lze obdržet výsledek
ln
x2
- 1
x
+
2x
ln 2
+
3
2
arcsin x - 4 cos x - 5 sin x + C, kde C  R.
Příklad 20 (3 body). Sečtěte

n=1
n
3n
.
Výsledek. Součet dané řady je 3/4.
Příklad 21 (3 body). Určete poloměr a obor konvergence mocninné řady

n=1
(-1)n 3n

n4 + 2n3 + 111
(x - 2)n
.
Výsledek. Uvedená řada konverguje právě pro
x  2 -
1
3
, 2 +
1
3
.
Příklad 22 (3 body). Najděte obecné řešení diferenciální rovnice
y -
y
x
= 3xy2
.
Výsledek. Obecné řešení zadané Bernoulliovy diferenciální rovnice je
y =
x
C - x3
, C  R.
Dodejme, že y  0 je singulárním řešením.
Část V. (Celkem 10 bodů za 2 příklady ze 3.)
Příklad 23 (5 bodů). Uveďte x-ovou souřadnici xA bodu paraboly y = x2
, který je
nejblíže bodu A = [1, 2].
Výsledek. Není obtížné uvědomit si, že příklad má právě jedno řešení a že úkolem je
vlastně najít absolutní minimum funkce
f(x) = (x - 1)2 + (x2 - 2)2, x  R.
Funkce f zjevně nabývá nejmenší hodnoty ve stejném bodě jako funkce
g(x) = (x - 1)2
+ (x2
- 2)2
, x  R.
Neboť
g (x) = 4x3
- 6x - 2, x  R,
řešením rovnice 0 = 2x3
- 3x - 1 dostáváme nejprve stacionární bod x = -1 a po vydělení
polynomu 2x3
- 3x - 1 polynomem x + 1 také zbylé dva stacionární body
1 -

3
2
a
1 +

3
2
.
Protože funkce g je polynomem (má derivaci na celé reálné ose), z geometrického významu
úlohy lze již obdržet výsledek
xA =
1 +

3
2
.
Příklad 24 (5 bodů). Vypočtěte obsah S obrazce složeného ze dvou částí roviny vymezených
přímkami x = 0, x = 1, x = 4, osou x a grafem funkce
f(x) =
1
3

x - 1
.
Výsledek. Je
S = -
1
0
1
3

x - 1
dx +
4
1
1
3

x - 1
dx =
3
2
1 +
3

9 .
Příklad 25 (5 bodů). Vyjádřete přibližnou hodnotu čísla sin 
180
s chybou ostře
menší než 10-8
.
Výsledek. S uvedenou chybou platí
sin

180


180
-
3
1803 3!
.
Další člen Maclaurinova rozvoje
5
1805 5!
již není potřeba přičítat.