Písemná zkouška z MB102 ­ 24. 1. 2008
Zadání si ponecháváte. Odevzdáváte pouze (řádně vyplněný) přiložený list.
Část I. (Celkem 9 bodů.)
Ohledně instrukcí viz(te) přiložený list!
Část I. A. (Celkem 3 body.)
Tvrzení 1. Má-li funkce f v bodě x0  R vlastní obě jednostranné limity, pak je f na
nějakém ryzím okolí bodu x0 ohraničená.
Tvrzení 2. Pro libovolnou funkci f spojitou a ohraničenou na intervalu (0, 10) je
10
0
f(x) dx 
10
0
| f(x) | dx.
Tvrzení 3. Maclaurinova řada libovolného polynomu má konečný počet nenulových
členů.
Část I. B. (Celkem 3 body.)
Tvrzení 4. Funkce
f(x) = cos(cos(sin(-3x + 2))) + arctg 2x2
+ 3  e-3x+2
, x  R
je diferencovatelná na celém R.
Tvrzení 5. K funkci
ln x
x
existuje na intervalu (0, 1) primitivní funkce, která je vyšší funkcí, tj. není vyjádřitelná
pomocí elementárních funkcí.
Tvrzení 6. Řada 
n=1
n

n diverguje k +.
Část I. C. (Celkem 3 body.)
Tvrzení 7. Libovolný polynom p je rostoucí v bodě x = 2, právě když je p (2) > 0.
Tvrzení 8. Existuje funkce f, která má derivaci na intervalu I = [-2, 2] a pro kterou
je dolní integrál z f na I ostře menší než horní integrál z f na I.
Tvrzení 9. Rovnice
y = 2x + 7y - 6y
je lineární diferenciální rovnicí 2. řádu.
Část II. (Celkem 11 bodů.)
Úloha 10 (2 body). Udejte příklad množin A, B, C  R takových, aby platilo
A  B = , A  C = , B  C =  a sup A = inf B = inf C = sup C.
Úloha 11 (1 bod). Napište Weierstrassovu větu pro funkci f, která je spojitá na intervalu
[a, b], přičemž a < b, a, b  R.
Úloha 12 (3 body). Nakreslete grafy funkcí
f(x) = e-| x |
, x  R; g(x) = ln | x |, x = 0, x  R.
Úloha 13 (1 bod). Kolik existuje různých primitivních funkcí k f(x) = cos (ln x)
na (0, 10)?
Úloha 14 (2 body). Vyjádřete bez symbolů derivace a integrace výraz
0
x
t5
ln (t + 1) dt
pro x  (-1, 1), je-li derivováno podle x.
Úloha 15 (2 body). Definujte geometrickou řadu. Poté uveďte, za jakých podmínek
konverguje a jaký je v tomto případě její součet.
Písemná zkouška z MB102 ­ 24. 1. 2008
Zadání si ponecháváte. Všechny listy, které budete odevzdávat, čitelně podepište. Zároveň
uveďte také svoje UČO.
Část III. (Celkem 10 bodů.)
Doplňme, že vyšetřením průběhu funkce f v níže uvedeném příkladu se rozumí ,,udat
definiční obor a obor hodnot; případnou lichost, sudost, periodicitu; spočítat limity
lim
xf(x)
a lim
x+
f(x),
jestliže existují; určit body nespojitosti a jejich druh včetně příslušných jednostranných
limit (pokud existují), nulové body (pokud existují) a intervaly, kde je funkce kladná a kde
záporná; stanovit první (a druhou, je-li potřeba) derivaci; intervaly, na kterých funkce
roste, klesá, či je konstantní; všechny stacionární a inflexní body; všechny lokální extrémy
(pokud existují); intervaly, kde je funkce konvexní a kde konkávní; všechny asymptoty;
vypočítat hodnoty ve význačných bodech (tím se rozumí vyčíslit funkci ve stacionárních
a v inflexních bodech a nalézt průsečíky s osami, existují-li); načrtnout její graf".
Příklad 16 (10 bodů). Vyšetřete průběh funkce
f(x) = arctg
x
2 - x
.
Část IV. (Celkem 20 bodů.)
Příklad 17 (3 body). Nalezněte polynom p nejvýše třetího stupně, pro který platí
p(0) = 1, p(1) = 0, p(2) = 1, p(3) = 10.
Výsledný polynom uveďte ve tvaru ax3
+ bx2
+ cx + d.
Příklad 18 (3 body). Určete derivaci funkce y = f(x) zadané rovnicí
ln x2 + y2 = arctg
y
x
.
Příklad 19 (5 bodů). Pro x  (0, 1) vypočtěte
x2
+ 1
x (x2 - 1)
+ 2x
+
3

4 - 4x2
+ 4 sin x - 5 cos x dx.
Příklad 20 (3 body). Sečtěte

n=1
n
3n
.
Příklad 21 (3 body). Určete poloměr a obor konvergence mocninné řady

n=1
(-1)n 3n

n4 + 2n3 + 111
(x - 2)n
.
Příklad 22 (3 body). Najděte obecné řešení diferenciální rovnice
y -
y
x
= 3xy2
.
Část V. (Celkem 10 bodů.)
Počítáte 2 příklady ze 3 dle vlastní volby!
Příklad 23 (5 bodů). Uveďte x-ovou souřadnici xA bodu paraboly y = x2
, který je
nejblíže bodu A = [1, 2].
Příklad 24 (5 bodů). Vypočtěte obsah S obrazce složeného ze dvou částí roviny vymezených
přímkami x = 0, x = 1, x = 4, osou x a grafem funkce
f(x) =
1
3

x - 1
.
Příklad 25 (5 bodů). Vyjádřete přibližnou hodnotu čísla sin 
180
s chybou ostře
menší než 10-8
.