Písemná zkouška z MB102 ­ 31. 1. 2008
Zadání si ponecháváte. Odevzdáváte pouze (řádně vyplněný) přiložený list.
Část I. (Celkem 9 bodů.)
Ohledně instrukcí viz(te) přiložený list!
Část I. A. (Celkem 3 body.)
Tvrzení 1. Pro každou (shora i zdola) ohraničenou množinu M  R, která má alespoň
dva různé prvky, je sup M > inf M.
Tvrzení 2. Součinem i podílem libovolných dvou funkcí integrovatelných na intervalu
I = (0, ) je funkce integrovatelná na I.
Tvrzení 3. Pokud pro libovolnou posloupnost reálných čísel {an}
n=0 existuje vlastní
limita lim
n
n
| an |, pak mocninná řada 
n=0 an(x - x0)n
konverguje absolutně alespoň ve
dvou různých bodech x.
Část I. B. (Celkem 3 body.)
Tvrzení 4. Je-li funkce f spojitá a klesající na intervalu I = (0, ), potom je inverzní
funkce f-1
spojitá a rostoucí na intervalu J = f(I).
Tvrzení 5. Funkce arctg x a arccotg x jsou primitivními funkcemi k téže funkci na R.
Tvrzení 6. Řada 
n=0
2n
+ (-2)n
5n
konverguje.
Část I. C. (Celkem 3 body.)
Tvrzení 7. Zobrazení definované na množině všech polynomů tak, že každému polynomu
přiřadí jeho derivaci, není surjektivní (tj. není na) ani injektivní (prosté).
Tvrzení 8. Nechť C je křivka v rovině a [x(t), y(t)] její parametrizace, přičemž funkce
x(t) a y(t) mají spojitou derivaci na intervalu [0, 1]. Potom pro délku d křivky C na
intervalu [0, 1] platí
d =
1
0
[x (t)]2 + [y (t)]2 dt.
Tvrzení 9. Z relativní konvergence řad 
n=0(-1)n
an a 
n=0(-1)n
bn plyne, že rovněž
řada 
n=0(6an - 5bn) relativně konverguje.
Část II. (Celkem 11 bodů.)
Úloha 10 (1 bod). Definujte
lim
xf(x)
= 2,
jestliže je f definována pro všechna x  R.
Úloha 11 (2 body). Uveďte
lim
x0
sin x
x
.
Poté (bez použití ľHospitalova pravidla) stanovte
lim
x0
sin 6x
sin 5x
.
Úloha 12 (1 bod). Udejte příklad funkce, která je v bodě x0 = 8 spojitá, přestože
nemá v tomto bodě derivaci.
Úloha 13 (1 bod). Nechť je dána funkce f mající derivace všech řádů na celé reálné
ose. Definujte pro tuto funkci pojem ,,inflexní bod".
Úloha 14 (3 body). Vypočtěte
2
-2
| x - 1 | dx,
2
-2
arctg x dx.
Nápověda: Uvažte geometrický význam určitého integrálu.
Úloha 15 (3 body). Najděte Maclaurinův rozvoj funkce
f(x) =
x
0
e(t2
) dt, x  R.
Písemná zkouška z MB102 ­ 31. 1. 2008
Zadání si ponecháváte. Všechny listy, které budete odevzdávat, čitelně podepište. Zároveň
uveďte také svoje UČO.
Část III. (Celkem 10 bodů.)
Doplňme, že vyšetřením průběhu funkce f v níže uvedeném příkladu se rozumí ,,udat
definiční obor a obor hodnot; případnou lichost, sudost, periodicitu; spočítat limity
lim
xf(x),
lim
x+
f(x),
jestliže existují; určit body nespojitosti a jejich druh včetně příslušných jednostranných
limit (pokud existují); stanovit první (a druhou, je-li potřeba) derivaci; intervaly, na kterých
funkce roste, klesá, či je konstantní; všechny stacionární a inflexní body; všechny lokální
extrémy (pokud existují); intervaly, kde je funkce konvexní a kde konkávní; všechny
asymptoty; vypočítat hodnoty ve význačných bodech (tím se rozumí vyčíslit funkci ve stacionárních
a v inflexních bodech a nalézt průsečíky s osami); načrtnout její graf".
Příklad 16 (10 bodů). Vyšetřete průběh funkce
f(x) =
x3
- 3x2
+ 3x + 1
x - 1
.
Část IV. (Celkem 20 bodů.)
Příklad 17 (3 body). Sestrojte přirozený kubický interpolační splajn pro body
x0 = -3, x1 = 0, x2 = 3
a po řadě hodnoty v těchto bodech
y0 = -3, y1 = 0, y2 = 3.
Příklad 18 (3 body). Za pomoci diferenciálu přibližně určete
arcsin 0, 497.
Příklad 19 (3 body). Pomocí metody per partes spočtěte
2 - x2
ex
dx.
Příklad 20 (3 body). Vyčíslete
1
0
x3
1 + x4
dx.
Příklad 21 (5 bodů). Zjistěte, pro jaké   {1, 2, 3} a   R řady

n=1
n
n!
nn
,

n=1


n
-


n + 1
konvergují.
Příklad 22 (3 body). Určete všechna nekonstantní řešení homogenní diferenciální
rovnice
y =
(x + y) y
x2
.
Část V. (Celkem 10 bodů.)
Počítáte 2 příklady ze 3 dle vlastní volby!
Příklad 23 (5 bodů). Je hledána obdélníková parcela o rozměrech 5a×b se záměrem
ji po obvodu celou oplotit a pak ještě ploty kolmými na první stranu rozdělit na 5 (stejně
velkých) parcel o rozměrech a × b. Pro jaké hodnoty a, b je rozloha parcely S = 5ab maximální,
má-li být celková délka plotů 2 400 m?
Příklad 24 (5 bodů). Pomocí určitého integrálu odvoďte vzorec pro objem VK rotačního
komolého kužele s podstavami o poloměrech r1 a r2 a výškou v.
Příklad 25 (5 bodů). Pro libovolné x  (-1, 1) určete součet řady

n=1
n2
xn-1
.