Písemná zkouška z MB102 ­ 7. 2. 2008 Část I. (Celkem 9 bodů.) Část I. A. (Celkem 3 body.) Tvrzení 1. Pro každou dvojici čísel a, b R existuje sudá funkce fa,b , která má v + a v - asymptotu y = ax + b. Tvrzení 2. Existuje funkce f, která není integrovatelná na intervalu [0, 1], ale | f | je na tomto intervalu integrovatelná. Tvrzení 3. Jestliže řada n=0 an konverguje, pak je lim n sin (3an + ) = 0. Část I. B. (Celkem 3 body.) Tvrzení 4. V alespoň jednom bodě intervalu (0, 4) má polynom x (x - 4)5 tečnu rovnoběžnou s osou x. Tvrzení 5. Funkce f(x) = x 0 sgn (t) dt, x R je spojitá na celém R. Tvrzení 6. Jsou-li funkce a(x), b(x) spojité na intervalu I = (-1, 1), má počáteční úloha y = a(x) y + b(x), y(0) = 0 právě jedno řešení na celém I. Část I. C. (Celkem 3 body.) Tvrzení 7. Funkce f má v bodě x0 R limitu, právě když má v tomto bodě obě jednostranné limity. Tvrzení 8. Pokud je funkce f monotónní na [-5, 5], potom rovnost 5 -5 f(x) dx + -5 5 f(x) dx = 0 má smysl a platí. Tvrzení 9. Pro libovolnou posloupnost reálných čísel {an} n=0 je poloměr konvergence mocninných řad n=0 an xn , n=1 an-1 n xn stejný. Výsledky Tvrzení 1­9. Správné odpovědi jsou 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 platí; 1, 7 neplatí. Část II. (Celkem 11 bodů.) Úloha 10 (1 bod). Kolik existuje navzájem různých polynomů stupně nejvýše 4, které v bodech x0 = 5, x1 = 55 nabývají po řadě hodnot y0 = 55, y1 = 5 a jejichž první a druhá derivace v bodě x0 je nulová? Výsledek. Existuje jich pravě tolik, kolik je možných voleb y2 R při pevně (ale libovolně) daném x2, tj. existuje bijekce mezi množinou těchto polynomů a R. Stačilo tedy odpovědět, že ,,je jich nekonečně mnoho" či ,,množina takových polynomů je jednopara- metrická". Úloha 11 (3 body). Určete 12. derivaci funkce f(x) = e2x + cos x + x10 - 5x7 + 6x3 - 11x + 3, x R. Výsledek. Zjevně platí f(12) (x) = 212 e2x + cos x, x R. Úloha 12 (1 bod). Nechť je funkce x = f(y) spojitá a rostoucí na R a má v bodě y0 derivaci f (y0) > 0. Napište vzorec pro výpočet derivace inverzní funkce y = f-1 (x) v bodě x0 = f(y0). Výsledek. Viz větu nazvanou ,,Derivace inverzní funkce" v podkapitole 2.8 ve skriptu doc. Hilschera. Úloha 13 (1 bod). Definujte průměrnou (střední) hodnotu av(f) = av[0,1](f) funkce f spojité na intervalu [0, 1]. Výsledek. Viz definici nazvanou ,,Průměr funkce" v úvodu podkapitoly 3.6 ve skriptu doc. Hilschera. Úloha 14 (2 body). Uveďte pro jaká R integrál + 0 1 (x + 12) dx konverguje. Výsledek. Zadaný nevlastní integrál konverguje právě pro > 1. Úloha 15 (3 body). Vyjádřete funkce sin x, cos x a ex ve tvaru nekonečné mocninné řady n=0 an xn pro x R. Výsledek. Viz podkapitolu 4.7 ve skriptu doc. Hilschera. Část III. (Celkem 10 bodů.) Doplňme, že vyšetřením průběhu funkce f v níže uvedeném příkladu se rozumí ,,udat definiční obor a obor hodnot; případnou lichost, sudost, periodicitu; spočítat limity lim xf(x) a lim x+ f(x), jestliže existují; určit body nespojitosti a jejich druh včetně příslušných jednostranných limit (pokud existují), nulové body (pokud existují) a intervaly, kde je funkce kladná a kde záporná; stanovit první (a druhou, je-li potřeba) derivaci; intervaly, na kterých funkce roste, klesá, či je konstantní; všechny stacionární a inflexní body; všechny lokální extrémy (pokud existují); intervaly, kde je funkce konvexní a kde konkávní; všechny asymptoty; vypočítat hodnoty ve význačných bodech (tím se rozumí vyčíslit funkci ve stacionárních a v inflexních bodech a nalézt průsečíky s osami, existují-li); načrtnout její graf". Příklad 16 (10 bodů). Vyšetřete průběh funkce f(x) = 1 - x3 x2 . Výsledek. Funkce je definována i spojitá na R {0}. Není lichá, sudá ani periodická. Je záporná právě na intervalu (1, +). Jediným průsečíkem Gr f s osami je bod [1, 0]. V bodě 0 má f nespojitost druhého druhu a jejím oborem hodnot je R, neboť lim x0 f(x) = +, lim x+ f(x) = -, lim xf(x) = +. Snadno lze spočítat, že f (x) = - x3 + 2 x3 , x R {0}; f (x) = 6 x4 , x R {0}. Jediným stacionárním bodem je - 3 2. Funkce f roste na intervalu [- 3 2, 0); klesá na intervalech (-, - 3 2], (0, +). V bodě - 3 2 má tudíž lokální minimum 3/ 3 4. Inflexní body daná funkce nemá. Je konvexní na celém svém definičním oboru. Asymptotou bez směrnice je přímka x = 0, přímka y = -x poté asymptotou se směrnicí v . Část IV. (Celkem 20 bodů.) Příklad 17 (2 body). Jestliže N = {1, 2, 3, . . . , n, . . . }, M = - 1 n ; n N , J = (0, 2] [3, 5] {4}, stanovte inf N, sup M, inf J a sup J . Výsledek. Zřejmě je inf N = 1, sup M = 0, inf J = 0, sup J = 5. Příklad 18 (4 body). Určete Taylorův polynom 3. stupně funkce f(x) = sin (sin x) se středem v počátku (tj. pro x0 = 0). Výsledek. Hledaný polynom je x - x3 3 . Příklad 19 (5 bodů). Vypočtěte 1 x3 - 1 dx. Výsledek. Platí 1 x3 - 1 dx = 1 3 ln |x - 1| - 1 6 ln x2 + x + 1 - 1 3 arctg 2x + 1 3 + C, C R. Příklad 20 (3 body). Sečtěte n=1 1 2n-1 + 2 3n-1 . Výsledek. Součet dané řady je 5. Příklad 21 (3 body). Určete poloměr konvergence mocninné řady n=1 n + 1 3 n xn . Výsledek. Poloměr konvergence zadané mocninné řady je 1. Doplňme, že jejím oborem konvergence je interval [-1, 1]. Příklad 22 (3 body). Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice x2 x3 + 5 + y2 y3 + 3 y = 0. Výsledek. Výsledek je x3 + 5 y3 + 3 = C, přičemž C = 0, C R. Část V. (Celkem 10 bodů za 2 příklady ze 3.) Příklad 23 (5 bodů). Do rovnoramenného trojúhelníku o základně z a výšce v (nad základnou) vepište obdélník (jedna jeho strana bude částí základny trojúhelníku) s největším obsahem. Stanovte obsah S tohoto obdélníku. Výsledek. Pro vyřešení příkladu postačuje uvažovat úlohu, kdy se snažíme vepsat do pravoúhlého trojúhelníku s odvěsnami délek z/2 a v obdélník s maximálním možným obsahem, přičemž dvě jeho strany jsou částmi odvěsen tohoto trojúhelníku. Úlohu takto převedeme na otázku maximalizace funkce f(x) = x v - 2vx z na intervalu I = [0, z/2]. Neboť je f (x) = v - 4v z x pro všechna x I, f(0) = f z 2 = 0, f(x) 0, x I, v jediném svém stacionárním bodu x0 = z/4 nutně nabývá funkce f maxima na I. Proto jsou sousední strany hledaného obdélníku dlouhé z/2 (dvojnásobek x0: uvažte původní úlohu) a v/2 (což lze získat dosazením z/4 za x do výrazu v - 2vx/z). Tedy S = vz 4 . Příklad 24 (5 bodů). Určete obsah ohraničeného rovinného obrazce vymezeného grafem funkce f(x) = e x 2 + e- x 2 a přímkami y = 0, x = -2, x = 2. Výsledek. Výsledný obsah činí 4 e - 1 e . Příklad 25 (5 bodů). Do čtverce o délce strany a > 0 je vepsán čtverec, jehož strany jsou spojnicemi středů stran zadaného čtverce. Do vepsaného čtverce je stejným způsobem vepsán další čtverec atd. Vypočítejte součet obsahů všech těchto (nekonečně mnoha) čtverců. Výsledek. Výsledek je 2a2 . Viz Příklad 53 z demonstrativních cvičení.