Písemná zkouška z MB102 ­ 7. 2. 2008
Zadání si ponecháváte. Odevzdáváte pouze (řádně vyplněný) přiložený list.
Část I. (Celkem 9 bodů.)
Ohledně instrukcí viz(te) přiložený list!
Část I. A. (Celkem 3 body.)
Tvrzení 1. Pro každou dvojici čísel a, b  R existuje sudá funkce fa,b
, která má v +
a v - asymptotu y = ax + b.
Tvrzení 2. Existuje funkce f, která není integrovatelná na intervalu [0, 1], ale | f | je
na tomto intervalu integrovatelná.
Tvrzení 3. Jestliže řada 
n=0 an konverguje, pak je lim
n
sin (3an + ) = 0.
Část I. B. (Celkem 3 body.)
Tvrzení 4. V alespoň jednom bodě intervalu (0, 4) má polynom x (x - 4)5
tečnu rovnoběžnou
s osou x.
Tvrzení 5. Funkce
f(x) =
x
0
sgn (t) dt, x  R
je spojitá na celém R.
Tvrzení 6. Jsou-li funkce a(x), b(x) spojité na intervalu I = (-1, 1), má počáteční
úloha y = a(x) y + b(x), y(0) = 0 právě jedno řešení na celém I.
Část I. C. (Celkem 3 body.)
Tvrzení 7. Funkce f má v bodě x0  R limitu, právě když má v tomto bodě obě
jednostranné limity.
Tvrzení 8. Pokud je funkce f monotónní na [-5, 5], potom rovnost
5
-5
f(x) dx +
-5
5
f(x) dx = 0
má smysl a platí.
Tvrzení 9. Pro libovolnou posloupnost reálných čísel {an}
n=0 je poloměr konvergence
mocninných řad

n=0
an xn
,

n=1
an-1
n
xn
stejný.
Část II. (Celkem 11 bodů.)
Úloha 10 (1 bod). Kolik existuje navzájem různých polynomů stupně nejvýše 4, které
v bodech x0 = 5, x1 = 55 nabývají po řadě hodnot y0 = 55, y1 = 5 a jejichž první a druhá
derivace v bodě x0 je nulová?
Úloha 11 (3 body). Určete 12. derivaci funkce
f(x) = e2x
+ cos x + x10
- 5x7
+ 6x3
- 11x + 3, x  R.
Úloha 12 (1 bod). Nechť je funkce x = f(y) spojitá a rostoucí na R a má v bodě
y0 derivaci f (y0) > 0. Napište vzorec pro výpočet derivace inverzní funkce y = f-1
(x)
v bodě x0 = f(y0).
Úloha 13 (1 bod). Definujte průměrnou (střední) hodnotu av(f) = av[0,1](f) funkce
f spojité na intervalu [0, 1].
Úloha 14 (2 body). Uveďte pro jaká   R integrál
+
0
1
(x + 12)
dx
konverguje.
Úloha 15 (3 body). Vyjádřete funkce sin x, cos x a ex
ve tvaru nekonečné mocninné
řady 
n=0 an xn
pro x  R.
Písemná zkouška z MB102 ­ 7. 2. 2008
Zadání si ponecháváte. Všechny listy, které budete odevzdávat, čitelně podepište. Zároveň
uveďte také svoje UČO.
Část III. (Celkem 10 bodů.)
Doplňme, že vyšetřením průběhu funkce f v níže uvedeném příkladu se rozumí ,,udat
definiční obor a obor hodnot; případnou lichost, sudost, periodicitu; spočítat limity
lim
xf(x)
a lim
x+
f(x),
jestliže existují; určit body nespojitosti a jejich druh včetně příslušných jednostranných
limit (pokud existují), nulové body (pokud existují) a intervaly, kde je funkce kladná a kde
záporná; stanovit první (a druhou, je-li potřeba) derivaci; intervaly, na kterých funkce
roste, klesá, či je konstantní; všechny stacionární a inflexní body; všechny lokální extrémy
(pokud existují); intervaly, kde je funkce konvexní a kde konkávní; všechny asymptoty;
vypočítat hodnoty ve význačných bodech (tím se rozumí vyčíslit funkci ve stacionárních
a v inflexních bodech a nalézt průsečíky s osami, existují-li); načrtnout její graf".
Příklad 16 (10 bodů). Vyšetřete průběh funkce
f(x) =
1 - x3
x2
.
Část IV. (Celkem 20 bodů.)
Příklad 17 (2 body). Jestliže
N = {1, 2, 3, . . . , n, . . . }, M = -
1
n
; n  N , J = (0, 2]  [3, 5] {4},
stanovte inf N, sup M, inf J a sup J .
Příklad 18 (4 body). Určete Taylorův polynom 3. stupně funkce f(x) = sin (sin x)
se středem v počátku (tj. pro x0 = 0).
Příklad 19 (5 bodů). Vypočtěte
1
x3 - 1
dx.
Příklad 20 (3 body). Sečtěte

n=1
1
2n-1
+
2
3n-1
.
Příklad 21 (3 body). Určete poloměr konvergence mocninné řady

n=1

n + 1
3

n
xn
.
Příklad 22 (3 body). Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice
x2
x3 + 5
+
y2
y3 + 3
y = 0.
Část V. (Celkem 10 bodů.)
Počítáte 2 příklady ze 3 dle vlastní volby!
Příklad 23 (5 bodů). Do rovnoramenného trojúhelníku o základně z a výšce v (nad
základnou) vepište obdélník (jedna jeho strana bude částí základny trojúhelníku) s největším
obsahem. Stanovte obsah S tohoto obdélníku.
Příklad 24 (5 bodů). Určete obsah ohraničeného rovinného obrazce vymezeného grafem
funkce
f(x) = e
x
2 + e- x
2
a přímkami
y = 0, x = -2, x = 2.
Příklad 25 (5 bodů). Do čtverce o délce strany a > 0 je vepsán čtverec, jehož strany
jsou spojnicemi středů stran zadaného čtverce. Do vepsaného čtverce je stejným způsobem
vepsán další čtverec atd. Vypočítejte součet obsahů všech těchto (nekonečně mnoha)
čtverců.