Matematika III - 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 18. 9. 2007 = O Literatura Q Zobrazení a funkce více proměnných 9 Funkce více proměnných » Topologie euklidovských prostorů • Křivky v euklidovských prostorech • Limita a spojitost funkce Q Parciální a směrové derivace • Parciální derivace • Směrové derivace a S - = -E -0a*0 Q Literatura □ a - = i -o o. o Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. • Zuzana Došlá, Ondřej Došlý, Diferenciální počet funkcí více proměnných, MU Brno, 2006, 150 s. • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. • Zuzana Došlá, Ondřej Došlý, Diferenciální počet funkcí více proměnných, MU Brno, 2006, 150 s. • Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka, Diferenciální počet funkcí více proměnných s programem Maple, MU Brno, 1999, 273 s. (příp. http://www.math.muni.cz/~plch/mapm). • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. • Zuzana Došlá, Ondřej Došlý, Diferenciální počet funkcí více proměnných, MU Brno, 2006, 150 s. • Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka, Diferenciální počet funkcí více proměnných s programem Maple, MU Brno, 1999, 273 s. (příp. http://www.math.muni.cz/~plch/mapm). » Předmětové záložky v IS MU Q Zobrazení a funkce více proměnných 9 Funkce více proměnných » Topologie euklidovských prostorů • Křivky v euklidovských prostorech • Limita a spojitost funkce V diferenciálním a integrálním počtu funkcí jedné proměnné jsme se (jak už název napovídá) zabývali zobrazeními f : R -* R. Přirozeně se nabízí otázka, jak příslušné pojmy zobecnit pro případ zobrazení f : Rm -»■ R". Začneme dvěma speciálními případy: • n=l - funkce více proměnných • m=l - křivka v prostoru R" Definice Zobrazení f : R" —> R nazýváme reálna funkce více proměnných (ty obvykle značíme xi,... , x„). Pro n = 2 nebo n = 3 často místo číslovaných proměnných používáme písmena x,y,z. To znamená, že funkce f definované v „prostoru" En = R" budou značeny ŕ:R"9(x1,...,xn)^ŕ(x1,...,xn)GR a např. funkce f definované v „rovině" E2 = R2 budou značeny f : R2 3 (x, y) ^ f (x, y) G R Definice Zobrazení f : R" —> R nazýváme reálna funkce více proměnných (ty obvykle značíme xi,... , x„). Pro n = 2 nebo n = 3 často místo číslovaných proměnných používáme písmena x,y,z. To znamená, že funkce f definované v „prostoru" En = R" budou značeny ŕ:R"9(x1,...,xn)^ŕ(x1,...,xn)GR a např. funkce f definované v „rovině" E2 = R2 budou značeny f : R2 3 (x, y) ^ f (x, y) G R Definiční obor A c R" - množina, kde je funkce definována. (Častým úkolem - nejen - v písemkách bývá nalézt k dané formuli pro funkci co největší definiční obor, na kterém má tato formule smysl.) o«ooooooooooooooooo funkce ' Příklad ' Nalezněte a v rovině zobrazte definiční obor funkce f(x, y) = arccos(x2 + y2 - 1) + \J\x + \y\ - -V2. □ s - = Zobrazeni a funkce vice promennýc! o«ooooooooooooooooo funkce ' Příklad ' Nalezněte a v rovině zobrazte definiční obor funkce f(x, y) = arccos(x2 + y2 — 1) + y |x| + M " -V2. Funkce arccos připouští argument pouze z intervalu [—1,1], odmocnina připouští pouze nezáporný argument. Definičním oborem je tedy množina bodů (x, y) vyznačená na obrázku. Zobrazeni a funkce vice promennýc! o«ooooooooooooooooo funkce ' Příklad ' Nalezněte a v rovině zobrazte definiční obor funkce f(x, y) = arccos(x2 + y2 — 1) + y |x| + M " -V2. Funkce arccos připouští argument pouze z intervalu [—1,1], odmocnina připouští pouze nezáporný argument. Definičním oborem je tedy množina bodů (x, y) vyznačená na obrázku. Definice Grafem funkce více proměnných je podmnožina GfCR"xR = Rn+1 splňující Gf = {(*1, • • • ,Xn, f(xi, ■ ■ ■ ,Xn))\ (Xl, ■ ■ ■ ,xn) e A}, kde A je definiční obor funkce f. Definice Grafem funkce více proměnných je podmnožina GfCR"xR = Rn+1 splňující Gf = {(*1, • • • ,Xn, f(xi, ■ ■ ■ ,Xn))\ (Xl, ■ ■ ■ , Xn) G A}, kde A je definiční obor funkce f. ' Příklad 1 Grafem funkce definované v E2 c í \ x+y 2- je plocha na obrázku, maximálním definičním oborem je £2\{(0,0)}. 0--2--4; ^T~^ o^^p ^2^7 f-7 ^-3 3 U funkcí dvou proměnných uvažujeme pro lepší názornou představu rovněž tzv. vrstevnice funkce (obdoba vrstevnic v geografickém smyslu). 300*000000000000000 dvou promění U funkcí dvou proměnných uvažujeme pro lepší názornou představu rovněž tzv. vrstevnice funkce (obdoba vrstevnic v geografickém smyslu). Definice Nechť f : R2 - -^Rje fc funkce d = (*, y) vou proměnných eR2:f(x,y) = c G c R. M nožinu nazýváme vrstevnice funkce f na úrovni c. = 300*000000000000000 dvou promění U funkcí dvou proměnných uvažujeme pro lepší názornou představu rovněž tzv. vrstevnice funkce (obdoba vrstevnic v geografickém smyslu). Definice Nechť f : R2 - -^Rje fc funkce d = (*, y) vou proměnných eR2:f(x,y) = c G c R. M nožinu nazýváme vrstevnice funkce f na úrovni c. Zřejmě jde v případě vrstevnice na úrovni c o přímou analogii řezu grafu funkce f rovinou z = c. Pro představu o grafu funkce dvou proměnných jsou samozřejmě užitečné rovněž řezy rovinami x = O (bokorys), y = O (nárys), z = O (půdorys). Příklad Pomocí vrstevnic a řezů určete graf funkce f(x,y) /x2+y2. Zobrazeni a funkce vice promennýc! OOOO0OOOOOOOOOOOOOO Příklad Pomocí vrstevnic a řezů určete graf funkce f{x,y) = yx2 + y Řešení Viz ilustrace v programu Maple. Euklidovský prostor En je množina bodů (bez volby souřadnic) spolu se zaměřením W, což je vektorový prostor možných přírůstků, které umíme k bodům prostoru En přičítat. Euklidovský prostor En je množina bodů (bez volby souřadnic) spolu se zaměřením R", což je vektorový prostor možných přírůstků, které umíme k bodům prostoru En přičítat. Navíc je na R" definován standardní skalární součin u v = Yľl=\ xiYi' kde u = (xi,... ,xn) a v = (y1,..., yn) jsou libovolné vektory. Euklidovský prostor En je množina bodů (bez volby souřadnic) spolu se zaměřením W, což je vektorový prostor možných přírůstků, které umíme k bodům prostoru En přičítat. Navíc je na R" definován standardní skalární součin u v = Yľl=\ xiYi' kde u = (xi,... ,xn) a v = (y1,..., yn) jsou libovolné vektory. Proto je na En dána metrika, tj. funkce vzdálenosti ||Q — P\\ dvojic bodů P, Q předpisem iiQ-p|i2 = ii"ii2 = É^2' kde u je vektor, jehož přičtením k P obdržíme Q. Např. v E2 je vzdálenost bodů P\ = (xi,yi) a Pí = (x2,y2) dána ||P2-Pi||2 = (xi-x2)2 + (yi-y2)2. 31 Euklidovský prostor En je množina bodů (bez volby souřadnic) spolu se zaměřením W, což je vektorový prostor možných přírůstků, které umíme k bodům prostoru En přičítat. Navíc je na R" definován standardní skalární součin u v = Yľl=\ xiYi' kde u = (xi,... ,xn) a v = (y1,..., yn) jsou libovolné vektory. Proto je na En dána metrika, tj. funkce vzdálenosti ||Q — P\\ dvojic bodů P, Q předpisem iiQ-p|i2 = ii"ii2 = É^2' kde u je vektor, jehož přičtením k P obdržíme Q. Např. v E2 je vzdálenost bodů P\ = (xi,yi) a Pí = (x2,y2) dána ||P2-Pi||2 = (xi-x2)2 + (yi-y2)2. Trojúhelníková nerovnost pro každé tři body P, Q, R \\R-P\\ = KQ-P) + {R-Q)\\<\\{Q-P)^M§.-9)K 31 Rozšíření pojmů topologie R pro body P, libovolného Euklidovského En\ Rozšírení pojmů topologie R pro body P, libovolného Euklidovského En\ Definice • Cauchyovská posloupnost _ iip. _ p.\\ \\ri rj\\ < e, pro každé pevně zvolené e > 0 až na konečně mnoho výjimečnýc h hodnot i, j (nebo taky P/ - Pj\\ N a vhodné A/eN) , Rozšírení pojmu topologie R pro body P; libovolného Euklidovského En\ Definice Cauchyovská posloupnost - \\P; — Pj\\ < e, pro každé pevné zvolené e > 0 až na konečně mnoho výjimečných hodnot i, j (nebo taky ||P,- — Pj\\ < e pro všechna i, j > N a vhodné N G N) , konvergentní posloupnost - ||P; — P\\ < e, pro každé pevné zvolené e > 0 až na konečně mnoho výjimečných hodnot i, j, bod P pak nazývame limitou posloupnosti P/, Rozšírení pojmu topologie R pro body P; libovolného Euklidovského En\ Definice Cauchyovská posloupnost - \\P; — Pj\\ < e, pro každé pevné zvolené e > 0 až na konečně mnoho výjimečných hodnot i, j (nebo taky ||P,- — Pj\\ < e pro všechna i, j > N a vhodné N G N) , konvergentní posloupnost - ||P; — P\\ < e, pro každé pevné zvolené e > 0 až na konečně mnoho výjimečných hodnot i, j, bod P pak nazývame limitou posloupnosti P/, hromadný bod P množiny A C En - existuje posloupnost bodů v A konvergující k P a vesměs různých od P, Definice uzavřená množina - obsahuje všechny své hromadné body, □ s - = ■€. -o<\(y Definice • uzavřená množina - obsahuje všechny své hromadné body, • otevřená množina - její doplněk je uzavřený, Definice • uzavřená množina - obsahuje všechny své hromadné body, • otevřená množina - její doplněk je uzavřený, • otevřené o-okolí bodu P - množina Os{P) = {Q e E„- \\P-Q\\ <5}, Definice uzavřená množina - obsahuje všechny své hromadné body, otevřená množina - její doplněk je uzavřený, otevřené o-okolí bodu P - množina Os{P) = {Q e E„- \\P-Q\\ <5}, hraniční bod P množiny A - každé á-okolí bodu P má neprázdný průnik s A i s komplementem En \ A, Pozn: pozor na kvantifikátory! Definice • uzavřená množina - obsahuje všechny své hroma dne : body, 9 otevřená množina - její doplněk je uzavřený, • otevřené o-okolí bodu P - množina Os{P) = {Q e E„- \\P-Q\\ <5}, • hraniční bod P množiny A - každé č-okolí bodu neprázdný průnik s A i s komplementem En \ A, P má a vnitřní bod P množiny A - existuje č-okolí bodu leží uvnitř A, P, které celé Pozn: pozor na kvantifikátory! Definice uzavřená množina - obsahuje všechny své hromadné body, otevřená množina - její doplněk je uzavřený, otevřené o-okolí bodu P - množina Os{P) = {Q e E„- \\P-Q\\ <5}, hraniční bod P množiny A - každé č-okolí bodu P má neprázdný průnik s A i s komplementem En \ A, vnitřní bod P množiny A - existuje č-okolí bodu P, které celé leží uvnitř A, ohraničená množina - leží celá v nějakém č-okolí některého svého bodu (pro dostatečně velké ô), Pozn: pozor na kvantifikátory! Definice • uzavřená množina - obsahuje všechny své hromadné body, • otevřená množina - její doplněk je uzavřený, • otevřené o-okolí bodu P - množina Os{P) = {Q e E„- \\P-Q\\ <5}, 9 hraniční bod P množiny A - každé č-okolí bodu P má neprázdný průnik s A i s komplementem En \ A, • vnitřní bod P množiny A - existuje č-okolí bodu P, které celé leží uvnitř A, 9 ohraničená množina - leží celá v nějakém č-okolí některého svého bodu (pro dostatečně velké ô), 9 kompaktní množina - uzavřená a ohraničená množina. Pozn: pozor na kvantifikátory! Pro podmnožiny A C En v euklidovských prostorech platí: O A je otevřená, právě když je sjednocením nejvýše spočetného systému 5-okolí, Pro podmnožiny A C En v euklidovských prostorech platí: O A je otevřená, právě když je sjednocením nejvýše spočetného systému 5-okolí, Q každý bod a G A je buď vnitřní nebo hraniční, Pro podmnožiny A C En v euklidovských prostorech platí: O A je otevřená, právě když je sjednocením nejvýše spočetného systému 5-okolí, O každý bod a G A je buď vnitřní nebo hraniční, Q každý hraniční bod je buď izolovaným nebo hromadným bodem A, Pro podmnožiny A C En v euklidovských prostorech platí: O A je otevřená, právě když je sjednocením nejvýše spočetného systému 5-okolí, O každý bod a G A je buď vnitřní nebo hraniční, Q každý hraniční bod je buď izolovaným nebo hromadným bodem A, Q A je kompaktní, právě když každá v ní obsažená nekonečná posloupnost má podposloupnost konvergující k bodu v A, Pro podmnožiny A C En v euklidovských prostorech platí: O A je otevřená, právě když je sjednocením nejvýše spočetného systému 5-okolí, O každý bod a G A je buď vnitřní nebo hraniční, Q každý hraniční bod je buď izolovaným nebo hromadným bodem A, Q A je kompaktní, právě když každá v ní obsažená nekonečná posloupnost má podposloupnost konvergující k bodu v A, Q A je kompaktní, právě když každé její otevřené pokrytí obsahuje konečné podpokrytí, O Jsou-li A CRm,ß C A x B C Rm+". otevřené, je otevřená i množina O Jsou-li A C Rm, ß C R" otevřené, je otevřená i množina Ax ß C Rm+". 0 Jsou-li A CRm,ß C /A x ß C Rm+". uzavřené, je uzavřena i množina = PBfl | O Jsou-li ACRm ß C R" otevřené, je otevřená i množina Ax ß C Rm+" 0 Jsou-//' /icr B C R" uzavřené, je uzavřená i množina Ax B C Rm+" O Jsou-//' ACRm B C R" kompaktní, je kompaktní i množina Ax B C Rm+" = Už na příkladu s vrstevnicemi jsme viděli příklad „prostorových' křivek. Křivka je zobrazení c : R —> En. Už na příkladu s vrstevnicemi jsme viděli příklad „prostorových' křivek. Definice Křivka je zobrazení c En. Je třeba rozlišovat křivku a její obraz v En\ Příklad Obrazem křivky ř i—> (cos(ř),sin(ř)), ŕ G M v rovině Ei je jednotková kružnice, stejně jako v případě jiné křivky ř i-» (cos(ř3), sin(ř3)), ŕ e R. = Analogicky k funkcím v jedné proměnné: Definice Limity, derivace i integrály lze spočítat po jednotlivých n souřadných složkách. □ g - = Analogicky k funkcím v jedné proměnné: Definice • Limita: limt^to c(ř) G E„ • Derivace: c'(r0) = limt^to (c(t|:^(to)) e R" Limity, derivace i integrály lze spočítat po jednotlivých n souřadných složkách. □ g - = Analogicky k funkcím v jedné proměnné: Definice • Limita: limt^to c(ř) G E„ • Derivace: c'(řo) = limt^to • Integrál: fabc(t)dt R" křivka spojitá na intervalu [a, b], pak existuje její Riemannův integrál Ja c{ť)dt. Navíc je křivka C(ř) = I c(s)ds G R" dobře definovaná, diferencovatelná a platí C'(ř) = c(ř) pro všechny hodnoty t G [a, b]. □ s Poznámka Ne vše funguje tak jako u funkcí jedné proměnné: □ s - = ■€. -o<\(y Poznámka Ne vše funguje tak jako u funkcí jedné proměnné: Věta o střední hodnotě dává pro křivku c(ř) = (ci(ř), existenci čísel íy takových, že Ci(b)-ci(á) = (b-a)-c'i(ti). • Cn{t)) Tato čísla ale budou obecně různá, nemůžeme proto vyjádřit rozdílový vektor koncových bodů c(b) — c{a) jako násobek derivace křivky v jediném bodě. Poznámka Ne vše funguje tak jako u funkcí jedné proměnné: Věta o střední hodnotě dává pro křivku c(ř) = (ci(ř), existenci čísel íy takových, že •, c„{t)) Ci(b)-ci(á) = (b-a)-c'i(ti). Tato čísla ale budou obecně různá, nemůžeme proto vyjádřit rozdílový vektor koncových bodů c(b) — c{a) jako násobek derivace křivky v jediném bodě. Např. v rovině E2 pro c(ř) = (x(ř),y(ř)) takto dostáváme c(b) - c{a) = (x'(0(b-^y'{r]){b-a)) = (b-a)- (x'(0,/(r?)) pro dvě (obecně různé) hodnoty £, f] e [a, b]. Derivace zadává tečný vektor ke křivce c : R —> En v bodě c(řo) e£„- vektor c'(řo) G R" v prostoru zaměření R" daný derivací. Derivace zadává tečný vektor ke křivce c : R —> En v bodě c(řo) e£„- vektor c'(řo) G R" v prostoru zaměření R" daný derivací. Přímka zadaná parametricky T : c(řo) +r • c'(řo) je tečna ke křivce c v bodě řo, narozdíl od tečného vektoru nezávisí na parametrizaci křivky c. Derivace zadává tečný vektor ke křivce c : R —> E„ v bodě c(řo) e£„- vektor c'(řo) eM"v prostoru zaměření R" daný derivací. Přímka zadaná parametricky T : c(řo) +r • c'(řo) je řečná /ce křivce c v bodě řo, narozdíl od tečného vektoru nezávisí na parametrizaci křivky c. V geometrii a fyzice se v souvislosti s křivkami zavádějí i další pojmy: Příklad Pro křivku c(ř) = (cosř, ř, ŕ2), ŕ G [0, 3] určete rychlost, velikost rychlosti a zrychlení v čase ř = 0. Derivace zadává tečný vektor ke křivce c : R —> E„ v bode c(řo) e£„- vektor c'(řo) eM"v prostoru zaměření R" daný derivací. Přímka zadaná parametricky T : c(řo) +r • c'(řo) je řečná /ce křivce c v bodě řo, narozdíl od tečného vektoru nezávisí na parametrizaci křivky c. V geometrii a fyzice se v souvislosti s křivkami zavádějí i další pojmy: Příklad 1 Pro křivku c(ř) = (cos ŕ, ŕ, ŕ2), ŕ G [0,3] určete rychlost, velikost rychlosti a zrychlení v čase ŕ = 0. c'{t) = (- sin ř, 1 2t), c"(ŕ) = (- cost, 0,2), Derivace zadává tečný vektor ke křivce c : R —> En v bodě c(řo) e£„- vektor c'(řo) eM"v prostoru zaměření R" daný derivací. Přímka zadaná parametricky T : c(řo) +r • c'(řo) je řečná /ce křivce c v bodě řo, narozdíl od tečného vektoru nezávisí na parametrizaci křivky c. V geometrii a fyzice se v souvislosti s křivkami zavádějí i další pojmy: Příklad 1 Pro křiv rku c(ř) = (cosř, ř, ř2) ř G [0, 3] určete ryc hlost, velikost rychlost i a zrychlení v čase ř = = 0. c'(r) = (- sin ř, 1 ,2ř), c"(r) = = (—cosř, 0,2), c'(0) = (0, 1,0), |c'(0)|| = l, c"(0) = (- -1,0,2). Derivace zadává tečný vektor ke křivce c : R —> E„ v bodě c(řo) e£„- vektor c'(řo) eM"v prostoru zaměření R" daný derivací. Přímka zadaná parametricky T : c(řo) +r • c'(řo) je řečná /ce křivce c v bodě řo, narozdíl od tečného vektoru nezávisí na parametrizaci křivky c. V geometrii a fyzice se v souvislosti s křivkami zavádějí i další pojmy: Příklad Pro křivku c(ř) = (cosř, ř, ŕ2), ŕ G [0, 3] určete rychlost, velikost rychlosti a zrychlení v čase ř = 0. c'(ř) = (- sin ř, 1, 2ř), c"(ř) = (- cos ř, 0, 2), c'(0) = (0,1, 0), ||c'(0)|| = 1, c"(0) = (-1, 0, 2). Zrychlení ve směru tečny je pak m^jL,, ((:'(()) • c"(0)). Definici limity funkce v bodě lze takřka slovo od slova přepsat podle situace v případě funkcí jedné proměnné (okolí bodu již ale samozřejmě vypadají jinak). Definici limity funkce v bodě lze takřka slovo od slova přepsat podle situace v případě funkcí jedné proměnné (okolí bodu již ale samozřejmě vypadají jinak). Definice Funkce f : R" —> R má ve svém hromadném bodě a e R" limitu L, jestliže ke každému okolí O(L) bodu L existuje okolí O(a) bodu a tak, že pro všechna x G ö{a) \ {a} platí f (x) e 0{Ľ) Píšeme lim f (x) = L. X—>3 Definici limity funkce v bodě lze takřka slovo od slova přepsat podle situace v případě funkcí jedné proměnné (okolí bodu již ale samozřejmě vypadají jinak). Definice Funkce f : R" —> R má ve svém hromadném bodě a e R" limitu L, jestliže ke každému okolí O(L) bodu L existuje okolí O(a) bodu a tak, že pro všechna x G ö{a) \ {a} platí f (x) e 0{Ľ) Píšeme lim f (x) = L. X—>3 Obdobně jde (při vhodné definici okolí) limitu definovat i v „nevlastních" bodech (kterých je pro n > 1 již 2"). Definici limity funkce v bodě lze takřka slovo od slova přepsat podle situace v případě funkcí jedné proměnné (okolí bodu již ale samozřejmě vypadají jinak). Definice Funkce f : R" —> R má ve svém hromadném bodě a e R" limitu L, jestliže ke každému okolí O(L) bodu L existuje okolí O(a) bodu a tak, že pro všechna x G ö{a) \ {a} platí f (x) e 0{Ľ) Píšeme lim f (x) = L. X—>3 Obdobně jde (při vhodné definici okolí) limitu definovat i v „nevlastních" bodech (kterých je pro n > 1 již 2"). Má-li mít funkce v daném bodě limitu, nesmí záležet na „cestě", po které k danému bodu konvergujeme (analogie limit zleva a zprava u funkcí jedné proměnné). Analogické jako v případě jedné proměnné: a jednoznačnost limity, 3někdy také o dvou policajtech Analogické jako v případě jedné proměnné: • jednoznačnost limity, • věta o třech limitách 3někdy také o dvou policajtech :) Analogické jako v případě jedné proměnné: • jednoznačnost limity, • věta o třech limitách a, • linearita, tj. lim (c • f{x) + d ■ g{x)) = c ■ lim f{x) + d ■ lim g(x), 3někdy také o dvou policajtech Analogické jako v případě jedné proměnné: • jednoznačnost limity, • věta o třech limitách a, • linearita, tj. lim (c • f{x) + d ■ g{x)) = c ■ lim f{x) + d ■ lim g(x), x—>a ' " x—>a ' x—>a • multiplikativita, divisibilita, 3někdy také o dvou policajtech Analogické jako v případě jedné proměnné: • jednoznačnost limity, • věta o třech limitách a, • linearita, tj. lim (c • f{x) + d ■ g{x)) = c ■ lim f{x) + d ■ lim g(x), • multiplikativita, divisibilita, • je-// limx^a f{x) = 0 a funkce g{x) je ohraničená v nějakém ryzím okolí bodu x, pak lim f{x)g{x) = 0. 3někdy také o dvou policajtech í Příklad 1 Vypočtěte limitu funkce f(x, y) = x2+y2 u hr>H2 (C\ C\\ VxHrHi-i ■ bodctH2 (C\ C\\ VxHrHi-i ■ bodctH2 (C\ C\\ VxHrHi-i ■ bodct M je spojitá v hromadném bodě a G R", pokud má v a vlastní limitu a platí lim X—>3 f(x) = = f(a). Definice Funkce f :R" —> M je spojitá v hromadném bodě a G R", pokud má v a vlastní limitu a platí lim X—>3 f(x) = = f(a). Věta (Weierstrassova) Spojitá funkce na kompaktní množině zde nabývá maxima i minima. a S - = -E -0a*0 Definice Funkce f :R" —> R je spojitá v hromadném bodě a G R", pokud má v a vlastní limitu a platí lim X—>3 f(x) = = f {a). Věta (Weierstrassova) Spojitá funkce na kompaktní množině zde nabývá maxima i minima. Věta (Bolzanova) Nechť f : R" —> R _/e spojitá na otevřené souvislé množině A. Jsou-li a, b e A takové, že f (a) < 0 < f(r>), pa/c existuje c e A tak, že f{c) = 0. Q Parciální a směrové derivace • Parciální derivace • Směrové derivace Parciální derivace jsou nejsnazším rozšířením pojmu derivace funkce jedné proměnné, kdy se na funkci f{x\,... , x„) více proměnných díváme jako na funkci jedné proměnné x, a ostatní považujeme za konstatní. Parciální derivace jsou nejsnazším rozšírením pojmu derivace funkce jedné proměnné, kdy se na funkci f(xi,... , x„) více proměnných díváme jako na funkci jedné proměnné x, a ostatní považujeme za konstatní. Definice Existuje-li limita Jim - {f(xl, • • •,**-i,** + t,x*+1, • • •,x*) - f(xí,...,xn*)) , říkáme, že funkce f : R" —> R má v bodě (x{,... , x*) parciální derivaci podle proměnné x/ a značíme ^,(x^,... ,x*) (příp. I^V.-^nebo^V..,**)). Parciální derivace jsou nejsnazším rozšířením pojmu derivace funkce jedné proměnné, kdy se na funkci f(xi,... , x„) více proměnných díváme jako na funkci jedné proměnné x, a ostatní považujeme za konstatní. Definice Existuje-li limita Jim - {f(xl, • • •,**-i,** + t,x*+1, • • •,x*) - f(xí,...,xn*)) , říkáme, že funkce f : R" —> R má v bodě (x{,... , x*) parciální derivaci podle proměnné x/ a značíme ^,(x^,... , x*) (příp. " "j W, • • • > O nebo fxiíxí, • • • > <)). 9f OX; Podobně jako v případě jedné proměnné, pokud má funkce f : R" —>■ R parciální derivace ve všech bodech nějaké otevřené množiny, jsou tyto derivace rovněž funkcemi z R" do R. ■•I I«I«I«I«M Pro funkce v E2 dostáváme d 1 ß-f(xo,yo) = \\m-(f(xo + ř,yo) - f(xQ,yQ)) lim x^xo f(x,yo) - f(xo,yo) x-x0 9 1 ß-f(xo,yo) = lim -(f(x0,yo + ŕ) - f(x0,y0)) lim y^yo f(*o,y) - f(xo,yo) y-yo = Pro funkce v E2 dostáváme d 1 ß-f(xb,yo) = \\m-(f(xo + ř,yo) - f(xo,yo)) lim x^xq f(x,yo) - f(xo,yo) x-x0 9 1 ß-f(xo,yo) = i™ -{f(*o,yo + t) - f{xQ,yQ)) lim y^yo f(xp,y) - f(xo,yo) y-yo Poznámka Parciální derivace funkce f : R2 —> R podle x v bodě (xo,yo) udává směrnici tečny v bodě (xo,yo, f(xo,yo)) ke křivce, která je průsečíkem grafu Gf s rovinou y = yo. ooooooooooooooooooo vs. spojitost Rozdíl oproti funkcím jedné proměnné! Protože parciální derivace popisují chování funkce v okolí daného bodu jen velmi omezeně (pouze ve směru souřadných os), může se v jiných směrech chovat velmi divoce. Poznámka Z existence všech parciálních derivací v daném bodě neplyne spojitost v tomto bodě. Zobrazeni a funkce vice promennýc ooooooooooooooooooo vs. spojitost Rozdíl oproti funkcím jedné proměnné! Protože parciální derivace popisují chování funkce v okolí daného bodu jen velmi omezeně (pouze ve směru souřadných os), může se v jiných směrech chovat velmi divoce. Poznámka Z existence všech parciálních derivací v daném bodě neplyne spojitost v tomto bodě. Příklad Funkce f(x,y) 1 pro x=0 nebo y=0 0 jinak má v bodě (0, 0) obě parciální derivace nulové, přitom v tomto bodě neexistuje limita, a tedy není ani spojitá. Zmíněný nedostatek parciálních derivací se pokusíme napravit zavedením derivace v libovolném směru. Zmíněný nedostatek parciálních derivací se pokusíme napravit zavedením derivace v libovolném směru. Definice Funkce f : R" -4Rmá derivaci ve směru vektoru v £R" v bodě xef„, jestliže existuje derivace dvf{x) složeného zobrazení ř i-> f{x + tv) v bodě ř = 0, tj. dvf(x) = lim -t-o ř [f{x + tv) - fix)) 5 Často značíme rovněž r„ (x). Zmíněný nedostatek parciálních derivací se pokusíme napravit zavedením derivace v libovolném směru. Definice Funkce f : R" —► R má derivaci ve směru vektoru v G R" v bodě xef„, jestliže existuje derivace dvf{x) složeného zobrazení ř i-> f(x + tv) v bodě ř = 0, tj. dvf{x) = \\m-(f(x + tv)-f(x)), Často značíme rovněž ^(x). Speciální volbou jednotkových vektorů ve směru souřadných os dostáváme právě parciální derivace funkce f. ■•I»I»I»I >■ Směrové derivace jsou definovány pomocí derivací jedné proměnné, proto tam platí obvyklá pravidla pro derivování. B 1 Existují-li pro /eR" směrové derivace dv f (x), dvg(x) funkcí f,g: Rn ->M v bodě x G En. pak: O dkvf(x) = -kdvf(x), pre libovolné k e R, = Směrové derivace jsou definovány pomocí derivací jedné proměnné, proto tam platí obvyklá pravidla pro derivování. Existují-li pro ľ€l" směrové derivace dvf(x), dvg{x) funkcí f, g : R" -> R v bodě x G £„, pa/c; O dkvf(x) = k ■ dvf(x), pro libovolné k G R, e dv(f ± g-)(x) = cum ± ^(x), = Směrové derivace jsou definovány pomocí derivací jedné proměnné, proto tam platí obvyklá pravidla pro derivování. Iffggl 1 Existují-li pro v G Rn směrové derivace dvf(x), dvg(x) funkcí f,g: Rn ->M v bodě x G En, pak: O dkvf(x) = k ■ dvf(x), pre libovolné k G R, Q dv(f± g)(x) = dvf{x) ± dvg{x), Ö dv(fg)(x) = dvf{x)g{x) f{x)dvg{x), Směrové derivace jsou definovány pomocí derivací jedné proměnné, proto tam platí obvyklá pravidla pro derivování. Iffggl 1 Existují-li pro v G R" směrové derivace dvf(x), d^ *(*) funkcí f, g: Rn -»M v bodě x e E„, pak: O dkvf(x) = k dvf(x), pre libovolné k e R, Q dv{f±g){x) = dvf(x)±dvg(x), O dv(fg)(x) = dvf(x)g(x) ■ f{x)dvg{x), Q pro g(x) ^ 0 Je dvW) = -^{dvf{x)g{x) - f{x)dvg{x)). Směrové derivace jsou definovány pomocí derivací jedné proměnné, proto tam platí obvyklá pravidla pro derivování. Iffggl 1 Existují-li pro v G R" směrové derivace dvf(x), d^ *(*) funkcí f, g: Rn -»M v bodě x e E„, pak: O dkvf(x) = k dvf(x), pre libovolné k e R, Q dv{f±g){x) = dvf(x)±dvg(x), O dv(fg)(x) = dvf(x)g(x) ■ f{x)dvg{x), Q pro g(x) ^ 0 Je dvW) = -^{dvf{x)g{x) - f{x)dvg{x)). Smerové derivace jsou definovány pomocí derivací jedné proměnné, proto tam platí obvyklá pravidla pro derivování. B 1 Existují-li pro v G R" směrové derivace dvf(x), d^ *(*) funkcí f, g: Rn -»M v bodě x e E„, pak: O dkvf(x) = k dvf(x), pre libovolné k e R, Q dv{f±g){x) = dvf(x)±dvg(x), O dv(fg)(x) = dvf(x)g(x) ■ f{x)dvg{x), Q pro g(x) ^ 0 Je dvW) = -^{dvf{x)g{x) - f{x)dvg{x)). Poznámka Neplatí ale aditivita vzhledem ke směrům: du+vf(x) ŕ duf(x) + dvf(x) ooooooooooooooooooo vs. spojitost Že nám ke spojitosti nepomohlo ani zavedení směrových derivací, ukazuje následující příklad. Příklad Funkce definovaná předpisem f{*,y) 4 2 x y x8+y4 mimo počátek a f(0,0) = 0, má v počátku všechny směrové derivace nulové, přitom zde není spojitá. □ g - = ooooooooooooooooooo vs. spojitost Že nám ke spojitosti nepomohlo ani zavedení směrových derivací, ukazuje následující příklad. Příklad ' Funkce definovaná předpisem f(x y)- 4 2 x y x8+y4 mimo počátek a f(0,0) = 0 má v počátku všechny směrové derivace nulové, přitom zde není spojitá. Ke spojitosti potřebujeme silnější pojem, tzv. totální diferenciál, který si zavedeme příště. =