Matematika III - 2. přednáška Funkce více proměnných: parciální derivace, směrové derivace, diferenciál Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 25. 9. 2007 □ S Q Literatura Q Parciální a směrové derivace • Parciální derivace • Směrové derivace • Totální diferenciál • Tečná nadrovina ke grafu funkce Q Derivace vyšších řádů, Taylorova věta • Parciální derivace vyšších řádů • Hessián - aproximace 2. řádu • Taylorova věta O Literatura □ s - = 1 -O^O- Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. • Zuzana Došlá, Ondřej Došlý, Diferenciální počet funkcí více proměnných, MU Brno, 2006, 150 s. • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. • Zuzana Došlá, Ondřej Došlý, Diferenciální počet funkcí více proměnných, MU Brno, 2006, 150 s. • Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka, Diferenciální počet funkcí více proměnných s programem Maple, MU Brno, 1999, 273 s. (příp. http://www.math.muni.cz/~plch/mapm). • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. • Zuzana Došlá, Ondřej Došlý, Diferenciální počet funkcí více proměnných, MU Brno, 2006, 150 s. • Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka, Diferenciální počet funkcí více proměnných s programem Maple, MU Brno, 1999, 273 s. (příp. http://www.math.muni.cz/~plch/mapm). » Předmětové záložky v IS MU Q Parciální a směrové derivace • Parciální derivace • Směrové derivace • Totální diferenciál • Tečná nadrovina ke grafu funkce Parciální derivace jsou nejsnazším rozšířením pojmu derivace funkce jedné proměnné, kdy se na funkci f{x\,... , x„) více proměnných díváme jako na funkci jedné proměnné x, a ostatní považujeme za konstatní. Parciální derivace jsou nejsnazším rozšířením pojmu derivace funkce jedné proměnné, kdy se na funkci f(xi,... , x„) více proměnných díváme jako na funkci jedné proměnné x, a ostatní považujeme za konstatní. Definice Existuje-li limita Jim - {f(xí, • • •,**-i, ** + t,x*+1, • • •,x*) - f(xí,...,x*)) , říkáme, že funkce f : E„ —> R má v bodě [x^,... ,x*] parciální derivaci podle proměnné x/ a značíme ^,(x^,... ,x*) (příp. I^V.-^nebo^V..,**)). Parciální derivace jsou nejsnazším rozšířením pojmu derivace funkce jedné proměnné, kdy se na funkci f(xi,... , x„) více proměnných díváme jako na funkci jedné proměnné x, a ostatní považujeme za konstatní. Definice Existuje-li limita Jim - {f(xí, • • •,**-i, ** + t,x*+1, • • •,x*) - f(xí,...,x*)) , říkáme, že funkce f : E„ —► R má v bodě [x^,... ,x*] parciální derivaci podle proměnné x/ a značíme ^,(x^,... ,x*) (příp. " ^(XÍ > • • • > O neb° fX;íXl • • • > O)' 9f OX; Podobně jako v případě jedné proměnné, pokud má funkce f : En —> R parciální derivace ve všech bodech nějaké otevřené množiny, jsou tyto derivace rovněž funkcemi z En do R. □ g - = Pro funkce v E2 dostáváme d 1 Tj-f(xo,yo) = lim -{f(xo + ř,y0) - r(x0,yo)) lim x^xq f(x,yo) - f(xo,yo) x-x0 d 1 T-^o,yo) = lim -(ř(xo,y0 + t) - f(x0,y0)) oy t->o ř lim f(*o,y) - f(x0,yo) y-yo = Pro funkce v E2 dostáváme d 1 Tj-f(xo,yo) = lim -{f(xo + ř,yo) - f(*o,yo)) lim x^xq f(*,yo) - f(*o,yo) x-x0 d 1 T-^o,yo) = lim -(f(xo,y0 + t) - f(x0,y0)) oy t^o t lim y^yo f(*o,y) - f(xo,yo) y-yo Poznámka Parciální derivace funkce f : Ei —>■ R podle x v bodě [xo,yo] udává směrnici tečny v bodě [xo,yo, f(xo,yo)] ke křivce, která je průsečíkem grafu Gf s rovinou y = yo. = 00*00000000000 ice vs. spojito Rozdíl oproti funkcím jedné proměnné! Protože parciální derivace popisují chování funkce v okolí daného bodu jen velmi omezeně (pouze ve směru souřadných os), může se v jiných směrech chovat velmi divoce. Poznámka Z existence všech parciálních derivací v daném bodě neplyne spojitost v tomto bodě. 00*00000000000 ice vs. spojito Rozdíl oproti funkcím jedné proměnné! Protože parciální derivace popisují chování funkce v okolí daného bodu jen velmi omezeně (pouze ve směru souřadných os), může se v jiných směrech chovat velmi divoce. Poznámka Z existence všech parciálních derivací v daném bodě neplyne spojitost v tomto bodě. Příklad Funkce f(x,y) pro x=0 nebo y=0 jinak má v bodě [0,0] obě parciální derivace nulové, přitom v tomto bodě neexistuje limita, a tedy není ani spojitá. Zmíněný nedostatek parciálních derivací se pokusíme napravit zavedením derivace v libovolném směru. Zmíněný nedostatek parciálních derivací se pokusíme napravit zavedením derivace v libovolném směru. Definice Funkce f : R" -x G En, jestliže ŕ i-> f (x + tv) -4Rmá existuje v bodě t derivaci ve směru vektoru derivace dvf{x) složeného = 0, tj. v e R" v zobrazení bodě dvf(x) = lim -(f(x + tv) t-»o t - fix)) Směrovou derivaci v bodě x často značíme rovněž Ux). = Zmíněný nedostatek parciálních derivací se pokusíme napravit zavedením derivace v libovolném směru. Definice Funkce f : R" -xef„, jestliže ř i-> f{x + tv) -4Rmá existuje v bodě ř derivaci ve směru vektoru derivace dvf{x) složeného = 0, tj. veR" v zobrazení bodě dvf(x) = lim -(f(x + tv) t-»o ř - fix)) Směrovou derivaci v bodě x často značíme rovněž Ux). Speciální volbou jednotkových vektorů ve směru souřadných os dostáváme právě parciální derivace funkce f. Směrové derivace jsou tedy běžné derivace funkce jedné proměnné (f)(t) = f{x + tv), proto i pro ně platí obvyklá pravidla pro derivování. Existují-li pro ľ€l" směrové derivace dvf(x), dvg{x) funkcí f', g : En —► R v bodě x G En, pak: O dkvf(x) = k ■ dvf(x), pro libovolné k G M, = Směrové derivace jsou tedy běžné derivace funkce jedné proměnné (f)(t) = f{x + tv), proto i pro ně platí obvyklá pravidla pro derivování. Existují-li pro ľ€l" směrové derivace dvf(x), dvg{x) funkcí f', g : En —► R v bodě x G En, pak: O dkvf(x) = k ■ dvf(x), pro libovolné k G M, Q dv{f ± g")(x) = R je diferencovatelná v xo, pokud existuje A e R tak, že |jm f (x0 + /Q- f (x0) - Ab = 0 h->0 h (Přitom z definice derivace snadno plyne, že pak A = f'(xo).) Následující definice věrně sleduje chování diferenciálu funkcí jedné proměnné: □ g - = -E-OQ^O" Následující definice věrně sleduje chování diferenciálu funkcí jedné proměnné: Definice Funkce f En- -^ R je diferencovatelná v ■ bodě x jestliže existuje vektor a = --(31, ..., an ) G Rn takový, že pro všeď my „směry" v G M" platí 1 v 1 -►o \\v\ -(f(x+v)-f(x) — a ■ v) = 0. □ s - = ■€. -o<\(y Následující definice věrně sleduje chování diferenciálu funkcí jedné proměnné: Definice Funkce f : En —>■ R je diferencovatelná v bodě x, jestliže existuje vektor a = (ai,..., an) G M" takový, že pro všechny „směry" v G M" platí lim tí—TT (f(x +v)~ f(x) - a ■ v) = 0. Lineární funkci df definovanou předpisem v \—> a ■ v (závislou na vektorové proměnné v) nazýváme diferenciál funkce f. V literatuře se často také říká totální diferenciál df funkce f. = J i tost Díky tomuto zesílení parciálních a směrových derivací již dostáváme spojitost: Je-li funkce f : R" —> R diferencovatelná v bodě x G R", pak je v tomto bodě spojitá. □ g - = J i tost Díky tomuto zesílení parciálních a směrových derivací již dostáváme spojitost: Je-li funkce f : R" —> R diferencovatelná v bodě x G R", pak je v tomto bodě spojitá. Důkaz: Z diferencovatelnosti f v bodě x plyne f{x + v)- f{x) = a-v + t{v), kde lim^0 tÖ = 0. □ g - = J i tost Díky tomuto zesílení parciálních a směrových derivací již dostáváme spojitost: Je-li funkce f : R" —> R diferencovatelná v bodě x G R", pak je v tomto bodě spojitá. Důkaz: Z diferencovatelnosti f v bodě x plyne f{x + v)- f{x) = a-v + t{v), kde lim^0 ^ = 0. Proto: a tedy lim (f(x +v)- f(x)) = lim (a ■ v + t(v)) = 0, lim r(x + v) = f(x). D □ g - = Je-li funkce f diferencovatelná v bodě x, pak má v tomto bodě všechny směrové (a tedy i parciální) derivace. Pro libovolné i/éI' je přitom dvf{x) = df(x)(v), tj. v označení z definice diferenciálu dvf(x) a ■ v. Je-li funkce f diferencovatelná v bodě x, pak má v tomto bodě všechny směrové (a tedy i parciální) derivace. Pro libovolné i/éI' je přitom dvf{x) = df(x)(v), tj. v označení z definice diferenciálu dvf(x) a ■ v. Důkaz: dvf{x) = lim -t(f(x + tv) - f{x)) = lim ~(df{x)(tv) + r(tv)) df(x)(v) + \\v\\ lim ^^ = df(x)(v) t^o \\tv\ a ■ v. = Je-li funkce f diferencovatelná v bodě x, pak má v tomto bodě všechny směrové (a tedy i parciální) derivace. Pro libovolné v G M" je přitom dvf{x) = df(x)(v), tj. v označení z definice diferenciálu dvf{x) = a ■ v. Důkaz: dvf{x) = lim -t(f(x + tv) - f{x)) = \\m~{áf{x){tv) + r{tv)) áf{x){v) + \\v\\ lim r(tv) t^o \\tv\ df(x)(v) = a ■ v. Poznámka Z předchozího je ihned vidět, že vektor parciálních derivací r'(x) je přímo roven vektoru a. Uvažujme f : E2 —> K se spojitými parciálními derivacemi. Diferenciál v pevném bodě [xo,yo] je lineární funkce áf : E2 —> M Jf 0f . df , ox oy na přírůstcích se souřadnicemi danými právě parciálními derivacemi. = Uvažujme f : E2 —> K se spojitými parciálními derivacemi. Diferenciál v pevném bodě [xo,yo] je lineární funkce df : E2 —> ÍR Jf Of . df , df = —dx + —dy ox oy na přírůstcích se souřadnicemi danými právě parciálními derivacemi. Obecněji v případě funkcí více proměnných píšeme obdobně df = —- cřxi + t—C/X2 H---------h T—dxn ax\ 0x1 oxn (*) a platí: Nechť f : En —>■ H je funkce n proměnných, která má v okolí bodu x G E„ spojité parciální derivace. Pak existuje její diferenciál df v bodě x a jeho souřadné vyjádření je dáno rovnicí (*). □ S ~ Podobně jako v případě diferenciálu funkcí jedné proměnné lze i diferenciál funkce více proměnných využít k (velmi) přibližným výpočtům. Příklad Pomocí diferenciálu přibližně vypočteme e' 0,05^-0,02 Podobně jako v případě diferenciálu funkcí jedné proměnné lze i diferenciál funkce více proměnných využít k (velmi) přibližným výpočtům. Příklad Pomocí diferenciálu přibližně vypočteme e' 0,05^-0,02 Řešení Využijeme diferenciál funkce f(x s diferencemi v = (0, 05; -0, 02). y) = ex3+y v Máme bodě x = [0,0] df(x,y) = ex3+y- 3x2 dx + ex3+ydy, a tedy dr(0, 0) = Odx + Idy, což celkem dává f(0, 05; -0, 02) » f(0, 0) + df(0, 05; -0, 02) = odhad e0-053"0-02 = 1-0,02 = 0,98 000000000000*0 ;e grafu fui Pro f : Eo a pevný bod [xo,yo] G Ei uvažme rovinu v Ej,: df df z = f(xo,yo) + ^-(x0,yo)(x-x0) + ^-(x0,yo)(y -yo)- Je to jediná rovina procházející (xo,yo), ve které leží derivace a tedy i tečny všech křivek c(ř) = (x(ř),y(ř), ŕ(x(ŕ),y(ŕ))). Říkáme jí tečná rovina ke grafu funkce f. 000000000000*0 ;e grafu fui Pro f : Eo a pevný bod [xo,yo] G Ei uvažme rovinu v Ej,: df f{xo,yo) + —{xQ,yo){x x0) + —(x0,yo)(y-yo)- Je to jediná rovina procházející (xo,yo), ve které leží derivace a tedy i tečny všech křivek c(ř) = (x(ř),y(ř), ŕ(x(ŕ),y(ŕ))). Říkáme jí tečná rovina ke grafu funkce f. Na obrázku jsou zobrazeny dvě tečné roviny ke grafu funkce f(x,y) = sin(x)cos(y). Červená čára je obrazem křivky c(t) = (t,t,f(t,t)). Obecně pro f : En —* R je tečnou rovinou afinní nadrovina v E„+i. □ s - = ■€. -o<\(y Obecně pro f : E„ —> R je tečnou rovinou afinní nadrovina v £„+i. Tato nadrovina O prochází bodem (x, f (x)) O její zaměření je grafem lineárního zobrazení dr(x) : En —>■ R, tj. diferenciálu v bodě x G E„. Obecně pro f : En —> R je tečnou rovinou afinní nadrovina v £„+i. Tato nadrovina O prochází bodem (x, f (x)) O její zaměření je grafem lineárního zobrazení dr(x) : En —>■ R, tj. diferenciálu v bodě x G E„. Analogie s funkcemi jedné proměnné: Diferencovatelná funkce f má na En v bodě x飄 nulový diferenciál tehdy a jen tehdy, když její složení s libovolnou křivkou procházející tímto bodem zde má stacionární bod. To ovšem neznamená, že v takovém bodě musí mít f aspoň lokálně buď maximum nebo minimum. Stejně jako u funkcí jedné proměnné můžeme rozhodovat teprve podle derivací vyšších. Q Derivace vyšších řádů, Taylorova věta • Parciální derivace vyšších řádů a Hessián - aproximace 2. řádu • Taylorova věta Pro pevný přírůstek v G M" je vyčíslení diferenciálů na tomto přírůstku opět operace na funkcích f : En —> R f^dvf = df(v). Výsledkem je d f (v) : En Jestliže je tato funkce opět diferencovatelná, můžeme tento proces opakovat. Pro pevný přírůstek v G M" je vyčíslení diferenciálů na tomto přírůstku opět operace na funkcích f : En —> R f^dvf = df(v). Výsledkem je df(v) : En —>■ R. Jestliže je tato funkce opět diferencovatelná, můžeme tento proces opakovat. Pro parciální derivace druhého řádu píšeme , d d ,r d2 r d2f (-----o-----)r =---------r =--------- dxj dxj dxjdxj dxjdxj v případě opakované volby / = j píšeme také d2 . (—o—)f dx2 dx2' = Úplně stejně postupujeme při dalších iteracích a hovoříme o parciálních derivacích k-tého řádu dkf dxh ... dxjk Nechť f : En —>■ R je k-krát diferencovatelná funkce se spojitými parciálními derivacemi až do řádu k včetně v okolí bodu xeR". Pak všechny parciální derivace nezávisí na pořadí derivování. Úplně stejně postupujeme při dalších iteracích a hovoříme o parciálních derivacích k-tého řádu dkf dxk ... dxjk' Nechť f : En —>■ R je k-krát diferencovatelná funkce se spojitými parciálními derivacemi až do řádu k včetně v okolí bodu xeR". Pak všechny parciální derivace nezávisí na pořadí derivování. Speciálně tedy pro n = 2 platí (při alternativním způsobu zápisu parciálních derivací): fxy(xQ,yo) = fyx(xo,yo). Definice Je-li f : En —> R libovolná dvakrát diferencovatelná funkce v bodě x, nazýváme symetrickou matici Hf(x) d2f dxjdxj M ( d2f (x) &f (x)\ ôxiôxi y*) • • • 9xi dx„ y*) a2 f a2 f \9x„9xi(X) ••• 9x„9x„(X)/ Hessovou maticí (příp. Hessiánem) funkce f v bodě x. Často bývá Hessián značen f"{x). = Definice Je-li f : En —> R libovolná dvakrát diferencovatelná funkce v bodě x, nazýváme symetrickou matici Hf(x) d2f dxjdxj M ( d2f (x) &f (x)\ ôxiôxi y*) • • • 9xi dx„ y*) a2 f a2 f \9x„9xi(X) ••• 9x„9x„(X)/ Hessovou maticí (příp. Hessiánem) funkce f v bodě x. Často bývá Hessián značen f"{x). Poznámka Analogicky jako v případě parciálních derivací lze definovat i směrové derivace vyšších řádů v bodě x G En. Pak platí (za předpokladu spojitosti jedné ze stran v x) fuv(x) = fvu{x) = uTHf{x)v = (Hf(x)u) • v. Pro křivku c(ř) = (x(ř),y(ř)) = (xq + £r,yo + rjt) mají funkce a(t) = f(x(t),y(t)) df df ß(t) = f{xQ,yo) + — (x0,yo)C + ^-(x0,y0)í? + TT ( fxx(xo,yo)Š2 + 2fxy(xo,yo)£r] + fyy{x0,y0)rf v bodě (xo,yo) stejné derivace do druhého řádu včetně. = Pro křivku c(ř) = (x(ŕ),y(ŕ)) = (xo + (t,yo + r]t) mají funkce a(t) = f(x(t),y(t)) df df ß(t) = f{xQ,yo) + — (x0,yo)C + ^-(x0,y0)í? + 2 í fxx(xo,yo)C2 + 2fxy(xQ,y0){r? + /ýx(x0,y0)r?2 v bodě (xo,yo) stejné derivace do druhého řádu včetně. Funkci ß lze psát vektorově takto: ß(t) = f(x0,y0)+df(x0,y0) • Q + l(e,r?) • Hf(x0,y0) • ^ nebo /?(ř) = f(x0,yo) +d/r(x0,yo)(v) + ^Hf{xo,yo)(v, v), kde ^ = (ÁiV) = c'(ř) Je přírůstek zadaný derivací křivky c(ř) a Hessián symetrická 2-forma. = Použití Hessiánu připomíná Taylorovu větu funkcí jedné proměnné! Tečná rovina je vynesena spolu s kvadratickým přiblížením pro funkci f(x,y) = sin(x)cos(y). a S - = -E -0a*0 Použití Hessiánu připomíná Taylorovu větu funkcí jedné proměnné! Tečná rovina je vynesena spolu s kvadratickým přiblížením pro funkci f(x,y) = sin(x)cos(y). Obecně pro funkce f : En —>■ R, body x = [x\,.., ,x„] € En a přírůstky v = ((i,..., £„) klademe dkf(x)(V) = Y, t R v bodě x* a nějakém jeho okolí spojité parciální derivace až do řádu m + 1. Pak pro i/eR" platí: f(x) = f(x* + v)= Tm(x) + Rm(x), kde Tm(x) = f(x*)+df(x*)(v) + ld2f(x*)(v)+-+±idmf(x*)(v), resp. Rm(x) (m + 1)! dm+1f(x* + 9v)(v), ee(0,l), je Taylorův polynom, resp. zbytek v Taylorove vzorci a v = x — x* je vektor diferencí. a S - = -E -0a*0 Věta (Taylorova] Nechť má funkce f : En —> R v bodě x* a nějakém jeho okolí spojité parciální derivace až do řádu m + 1. Pak pro i/eR" platí: f(x) = f(x* + v)= Tm(x) + Rm(x), kde Tm(x) = f(x*)+df(x*)(v) + ld2f(x*)(v)+-+±idmf(x*)(v), resp. Rm(x) (m + 1)! dm+1f(x* + 9v)(v), ee(0,l), je Taylorův polynom, resp. zbytek v Taylorove vzorci a v = x — x* je vektor diferencí. Důkaz: poměrně snadný s využitím Taylorovy věty pro funkci F(t) = f(x* + ř • v) iedné proměnné ř. Přibližme si uvedené pojmy ve dvou proměnných: Přibližme si uvedené pojmy ve dvou proměnných: Tečná rovina: f(x0,yo) + df(x0,yo)(x - x<>,y - yo) Přibližme si uvedené pojmy ve dvou proměnných: Tečná rovina: f(x0,yo) + df(x0,yo)(x - xo,y - y0) Výraz třetího řádu d3f(x,y){C,v) ___£J -|-3 9x3 dx2dy d3f r2 „ 93r e2í? + 3- dxdy Ír] +TT^r] d3f g <9y3 Přibližme si uvedené pojmy ve dvou proměnných: Tečná rovina: f(x0,yo) + df(x0,yo)(x - xo,y - y0) Výraz třetího řádu d3f(x,y){C,v) ö3^3 , o ^ ,2„ , o ^ ,„2 , 93řj 9x3 r + 3 dx2dy ťi + 3^# + ^^ dxdy2 dy3 a obecně d^(x,y)(e^) = E('^^£^^-V. í=0 £j dxk-edye Poznámka Uvedené výrazy Vám jistě (možná, snad?) připomínají binomickou větu. Tak si je lze rovněž „neformálně" zapamatovat: C + TT7?, přičemž j-té mocniny nahrazujeme j-tými parciálními derivacemi. Taylorova věta nám (stejně jako v jednorozměrném případě) dává lepší možnosti aproximace funkcí v okolí bodu než pouhý diferenciál. Přenost výpočtu samozřejmě přímo ovlivní i volba funkce, jejíž hodnoty budeme aproximovat. Taylorova věta nám (stejně jako v jednorozměrném případě) dává lepší možnosti aproximace funkcí v okolí bodu než pouhý diferenciál. Přenost výpočtu samozřejmě přímo ovlivní i volba funkce, jejíž hodnoty budeme aproximovat. Příklad Pomocí Taylorovy věty přibližně vypočteme ef 0,05J-0,02 = Řešení Přibližnou hodnotu vypočteme pomocí Taylorova polynomu 2. stupně funkce f(x,y) = ex +y v bodě [0,0] s diferencemi v = &ri) = (0,05; -0,02). Řešení Přibližnou hodnotu vypočteme pomocí Taylorova polynomu 2. stupně funkce f(x,y) = ex +y v bodě [0,0] s diferencemi v = &ri) = (0,05; -0,02). Parciální derivace jsou: df_ dx ex+y -3x2 (3x2 df_ _ dy 3x2 + 6x), =x3+y ď2r dxy a2 f _ dx2 ~ ex3+y -3x2, a2 f dy2 Řešení Přibližnou hodnotu vypočteme pomocí Taylorova polynomi stupně funkce f(x,y) = ex +y v bodě [0,0] s diferencemi v = &ri) = (0,05; -0,02). Parciální derivace jsou: df _ „x3+y Oj.2 df _ „x3+y 92f _ 9x — e ox , dy — e , 9x2 — e*3+y (3x2 • 3x2 + 6x), g = ^ -3x2, 0 = e*3+^ . Pak 2. r2(o + e, 0 + r,) = = /f(0,0)+d/f(0,0) • (e, n) + (e, r?) d2r(0,0)- v7?/ ~ = 1 + T] + T]2. Řešení Přibližnou hodnotu vypočteme pomocí Taylorova polynomu 2. stupně funkce f(x,y) = ex +y v bodě [0,0] s diferencemi v = &ri) = (0,05; -0,02). Parciální derivace jsou: .3 , .. „ 2 df _ 0x3+y dV _ df _ „x3+y o _ dx — e ox > dy ' 9x2 2 9V dy2 ex3+^ (3x2 • 3x2 + 6x), g = ex'+y -3x Pak r2(o + e, 0 + r?) = = f(0,0) + df(0,0) • (£, r?) + (£, r?) • dV(0,0) • = 1 + T] + T]2. Odtud dostáváme odhad eo,053-o,02 ~ i _ o, 02 + 0,022 = 0, 9804.