Matematika III
4. ledna 2008
Jméno: Michal Bulant
(UČO: 2759)
Hodnocení:
Teorie 1. 2. 3. 4. E
Na každý příklad získáte nezáporný počet bodů.
Potřebné minimum (včetně bonusu) je 15 bodů.
Na práci máte 90 minut.
Teorie: (6krát 1 bod: tj. správně 1 bod, chybně --1 bod, bez odpovědi 0)
Odpovězte (škrtnutím nehodícího se ano nebo ne na patřičném řádku), zda jsou pravdivá následující
tvrzení (čtěte velmi pozorně!):
(a) ano -- ne Plyne z existence derivací v libovolném směru funkce / v bodě a i existence všech
parciálních derivací / v bodě a?
(b) ano -- ne Jsou-li všechny hlavní minory matice A kladné, je A pozitivně definitní.
(c) ano -- ne Spojitá funkce nabývá svého absolutního extrému výhradně v některém hraničním
bodě.
(d) ano -- ne Počet hran v úplném grafu Kn je roven n(n -- 1).
(e) ano -- ne Graf Kn je vrcholově 2-souvislý.
(f) ano -- ne Každý graf S Í Í > 3 vrcholy, které jsou všechny stupně alespoň n -- 1, je nutně
hamiltonovský.
Příklady:
1. (6bodů) Rozhodněte, zda je zobrazení F = (f, g), kde
f (x,y) = x sin(vry), g(x,y) = x2
y,
prosté v okolí bodu [1, --3]. Pokud ano, určete Jacobiho matici inverzního zobrazení v bodě
F ( l , - 3 ) .
2. (6bodů) Vypočtěte objem množiny A dané nerovnostmi
x + V2
+ z2
< 2z, z> ^x2
+ y2
.
3. (6bodů) Určete x tak, aby posloupnost (8,x, 7, 6,6, 5, 4, 3,3,1,1,1) byla skórem nějakého grafu
a graf nakreslete.
4. (6bodů) S využitím vytvořujících funkcí řešte rekurenci
gn = 3gn-i + 1 pro n > 1, g0 = 0.