Petr Hliněný, FI MU Brno 1 FI: IB000: Základní formalismy
1 Základní formalismy: Důkaz a Algoritmus1 Základní formalismy: Důkaz a Algoritmus
Studium informatiky neznamená jen ,,naučit se nějaký programovací jazyk , nýbrž zahrnuje
celý soubor dalších relevantních předmětů, mezi nimiž najdeme i matematickoteoretické
(formální) základy moderní informatiky.
Právě odborný nadhled nad celou informatikou včetně nezbytné formální teorie odliší
řadového ,,programátora , kterých jsou dnes mraky i bez VŠ vzdělání, od skutečného
a mnohem lépe placeného IT experta. 2
Stručný přehled lekce
* Pochopení formálního zápisu a významu matematických tvrzení (vět)
a jejich důkazů.
* Rozbor logické struktury matematických vět,
konstruktivnosti důkazů.
* Správný formální zápis postupu ­ algoritmu, ve světle matematických
formalismů.
Petr Hliněný, FI MU Brno 2 FI: IB000: Základní formalismy
1.1 Úvod do matematického dokazování1.1 Úvod do matematického dokazování
Matematika (a tudíž i teoretická informatika jako její součást) se vyznačuje
velmi přísnými formálními požadavky na korektnost argumentace. 2
* Uvažme matematickou větu (neboli tvrzení) tvaru
,,Jestliže platí předpoklady, pak platí závěr . 2
* Důkaz této věty je konečná posloupnost tvrzení, kde
 každé tvrzení je buď
­ předpoklad, nebo
­ obecně přijatá ,,pravda ­ axiom, nebo
­ plyne z předchozích a dříve dokázaných tvrzení podle nějakého ,,akceptovaného
logického principu ­ odvozovacího pravidla;
 poslední tvrzení je závěr. 2
O potřebné úrovni formality matematických důkazů a o běžných důkazových technikách
se dozvíme dále v této a příští lekci.. .
Nyní si prostě celou problematiku uvedeme názornými příklady.
Petr Hliněný, FI MU Brno 3 FI: IB000: Základní formalismy
Příklad 1.1. Uvažujme následující matematické tvrzení (které jistě už znáte).
Věta. Jestliže x je součtem dvou lichých čísel, pak x je sudé.
Poznámka pro připomenutí:
­ Sudé číslo je celé číslo dělitelné 2, tj. tvaru 2k.
­ Liché číslo je celé číslo nedělitelné 2, tj. tvaru 2k + 1. 2
Důkaz postupuje v následujících formálních krocích:
tvrzení zdůvodnění
1) a = 2k + 1, k celé předpoklad
2) b = 2l + 1, l celé předpoklad2
3) x = a + b = 2k + 2l + 1 + 1 1,2) a komutativita sčítání (axiom)2
4) x = 2(k + l) + 2  1 3) a distributivnost násobení2
5) x = 2(k + l + 1) 4) a opět distributivnost násobení2
6) x = 2m, m celé 5) a m = k + l + 1 je celé číslo (axiom)
2
Petr Hliněný, FI MU Brno 4 FI: IB000: Základní formalismy
Příklad 1.2. Dokažte následující tvrzení:
Věta. Jestliže x a y jsou racionální čísla pro která platí x < y, pak existuje
racionální číslo z pro které platí x < z < y. 2
Důkaz po krocích (s již trochu méně formálním zápisem) zní:
* Nechť z = x+y
2 = x + y-x
2 = y - y-x
2 .
* Číslo z je racionální, neboť x a y jsou racionální.
* Platí z > x, neboť y-x
2 > 0.
* Dále platí z < y, opět neboť y-x
2 > 0.
* Celkem x < z < y. 2
2
Poznámka. Alternativní formulace Věty z Příkladu 1.2 mohou znít:
­ Pro každé x, y  É, kde x < y, existuje z  É takové, že x < z < y.
­ Množina racionálních čísel je hustá.
Petr Hliněný, FI MU Brno 5 FI: IB000: Základní formalismy
1.2 Struktura matematických vět a důkazů1.2 Struktura matematických vět a důkazů
* První krok formálního důkazu je uvědomit si, co se má dokázat, tedy co je
předpoklad a co závěr dokazovaného tvrzení.
Pravdivost takového tvrzení pak je třeba chápat v následujícím významu:
Pro každou situaci, ve které jsou splněny všechny předpoklady,
je platný i závěr tvrzení.2
* Příklady běžné formulace matematických vět:
 Konečná množina má konečně mnoho podmnožin.2
 sin2
() + cos2() = 1.2
 Graf je rovinný jestliže neobsahuje podrozdělení K5 nebo K3,3.2
* Často pomůže pouhé rozepsání definic pojmů, které se v dané větě vyskytují.2
* Všimněte si také, jaký je správný logický význam matematického tvrzení
vysloveného touto formou ,,implikace .
Především, pokud předpoklady nejsou splněny nebo jsou sporné, tak celé
tvrzení je platné bez ohledu na pravdivost závěru!
Petr Hliněný, FI MU Brno 6 FI: IB000: Základní formalismy
* Jak ,,moc formální mají důkazy vlastně být?
 Záleží na tom, komu je důkaz určen -- ,,konzument musí být schopen
,,snadno ověřit korektnost každého tvrzení v důkazu a plně pochopit,
z čeho vyplývá.
 Je tedy hlavně na vás zvolit tu správnou úroveň formálnosti zápisu vět
i důkazů podle situace.
Petr Hliněný, FI MU Brno 7 FI: IB000: Základní formalismy
Konstruktivní a existenční důkazy
Z hlediska praktické využitelnosti je potřeba rozlišit tyto dvě kategorie důkazů
(třebaže z formálně­matematického pohledu mezi nimi kvalitativní rozdíl není).
* Důkaz Věty 1.2 je konstruktivní. Dokázali jsme nejen, že číslo z existuje,
ale podali jsme také návod, jak ho pro dané x a y sestrojit.
* Existenční důkaz je takový, kde se prokáže existence nějakého objektu bez
toho, aby byl podán návod na jeho konstrukci. 2
Příklad 1.3. čistě existenčního důkazu.
Věta. Existuje program, který vypíše na obrazovku čísla tažená ve 45. tahu
sportky v roce 2008.2
Důkaz: Existuje pouze konečně mnoho možných výsledků losování 45. tahu
sportky v roce 2008. Pro každý možný výsledek existuje program, který tento
daný výsledek vypíše na obrazovku. Mezi těmito programy je tedy jistě ten,
který vypíše právě ten výsledek, který bude ve 45. tahu sportky v roce 2008
skutečně vylosován. 2
2
To je ale ,,podvod , že? 2A přece není. . .
Formálně správně to je prostě tak a tečka.
Petr Hliněný, FI MU Brno 8 FI: IB000: Základní formalismy
Fakt. Pro informatické i další aplikované disciplíny je důležitá konstruktivnost
důkazů vět, které se zde objevují. 2
V matematice ale jsou mnohé příklady užitečných a nenahraditelných existenčních
důkazů, třeba tzv. pravděpodobnostní důkazy.
Příklad 1.4. ,,pravděpodobnostního existenčního důkazu.
Věta. Na dané množině bodů je zvoleno libovolně n2 podmnožin, každá
o n prvcích. Dokažte pro dostatečně velká n, že všechny body lze obarvit
dvěma barvami tak, aby žádná množina nebyla jednobarevná. 2
Důkaz: U každého bodu si ,,hodíme mincí a podle výsledku zvolíme barvu červeně
nebo modře. (Nezávislé volby s pravděpodobností 1
2 .) Pravděpodobnost, že zvolených
n bodů vyjde jednobarevných, je jen 2
2n = 21-n
.
Pro n2
podmnožin tak je pravděpodobnost, že některá z nich vyjde jednobarevná, shora
ohraničená součtem
21-n
+ . . . + 21-n
n2
=
n2
2n-1
 0 .
Jelikož je toto číslo (pravděpodobnost) pro n  7 menší než 1, bude existovat obarvení
bez jednobarevných zvolených podmnožin. 2
Petr Hliněný, FI MU Brno 9 FI: IB000: Základní formalismy
1.3 Formální popis algoritmu1.3 Formální popis algoritmu
Položme si otázku, co je vlastně algoritmus?
Poznámka: Za definici algoritmu je obecně přijímána tzv. Church­Turingova teze tvrdící,
že všechny algoritmy lze ,,simulovat na Turingově stroji. Jedná se sice o přesnou,
ale značně nepraktickou definici.
Mimo Turingova stroje existují i jiné matematické modely výpočtů, jako třeba stroj
RAM, který je abstrakcí skutečného strojového kódu. 2
Konvence 1.5. Zjednodušeně zde algoritmem rozumíme konečnou posloupnost
elementárních (výpočetních) kroků, ve které každý další krok využívá
vstupní údaje či hodnoty vypočtené v předchozích krocích.
Pro zpřehlednění a zkrácení zápisu algoritmu využíváme řídící konstrukce podmíněná
větvení a cykly.
2
Vidíte, jak blízké si jsou konstruktivní matematické důkazy a algoritmy v našem pojetí?
Jedná se nakonec o jeden ze záměrů našeho přístupu. . .
Petr Hliněný, FI MU Brno 10 FI: IB000: Základní formalismy
Příklad 1.6. Zápis algoritmu pro výpočet průměru z daného pole a[] s n prvky.
* Inicializujeme sum  0 ;
* postupně pro i=0,1,2,...,n-1 provedeme
 sum  sum+a[i];
* vypíšeme podíl (sum/n). 2
2
Ve ,,vyšší úrovni formálnosti (s jasnějším vyznačením řídících struktur algoritmu)
se totéž dá zapsat jako:
Algoritmus 1.7. Průměr
z daného pole a[] s n prvky.
sum  0;
foreach i  0,1,2,...,n-1 do
sum  sum+a[i];
done
res  sum/n;
output res;
Petr Hliněný, FI MU Brno 11 FI: IB000: Základní formalismy
Značení. Pro potřeby symbolického formálního popisu algoritmů v předmětu
FI: IB000 si zavedeme následovnou konvenci:
* Proměnné nebudeme deklarovat ani typovat, pole odlišíme závorkami p[].
* Přiřazení hodnoty zapisujeme a  b, případně a := b, ale nikdy ne a=b.
* Jako elem. operace je možné použít jakékoliv aritmetické výrazy v běžném
matematickém zápise. Rozsahem a přesností čísel se zde nezabýváme. 2
* Podmíněné větvení uvedeme klíčovými slovy if ... then ... else
... fi , kde else větev lze vynechat (a někdy, na jednom řádku, i fi).
* Pevný cyklus uvedeme klíčovými slovy foreach ... do ... done , kde
část za foreach musí obsahovat předem danou množinu hodnot pro přiřazování
do řídící proměnné.
* Podmíněný cyklus uvedeme klíčovými slovy while ... do ... done .
Zde se může za while vyskytovat jakákoliv logická podmínka. 2
* V zápise používáme jasné odsazování (zleva) podle úrovně zanoření řídících
struktur (což jsou if, foreach, while).
* Pokud je to dostatečně jasné, elementární operace nebo podmínky můžeme
i ve formálním zápise popsat běžným jazykem.
Petr Hliněný, FI MU Brno 12 FI: IB000: Základní formalismy
Malé srovnání závěrem
Jak to tedy je s vhodnou a únosnou mírou formalizace u matematických důkazů
i u zápisu algoritmů? 2
zcela formální běžná úroveň
matematika formální rozepsání všech
elem. kroků (Příklad 1.1)
strukturovaný a matem.
přesný text v běžném jazyce
algoritmy rozepsání všech elem. kroků
ve výpočetním modelu
strukturovaný rozpis kroků
(Algoritmus 1.7), i s využitím
běžného jazyka
programování assembler / strojový kód
(kde se s ním dnes běžně se-
tkáte?)
,,vyšší (strukturované)
programovací jazyky,
například Java
2
Pochopitelně se ve všech třech bodech obvykle držíme druhého přístupu, tedy běžné
úrovně formality, pokud si specifické podmínky výslovně nevyžadují přístup nejvyšší
formality. . .