\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage[all]{xy}

\newcommand{\factor}[2]{#1\!/\hspace{-.4ex}\raisebox{-.4ex}{$#2$}}

\pagestyle{empty}

\topmargin -3mm
\headsep 0mm
\headheight 3mm
\textheight 235mm
\textwidth 165mm
\oddsidemargin 0mm
\evensidemargin 0mm
\footskip 10mm

\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\coL}{co\mbox{$-$}L}
\newcommand{\move}{\rightarrow}

\newcommand{\zadani}[2]{
{\large 
\noindent {\bf IB102 -- úkol #1 \hfill Odevzdání: #2\\[-4mm]}
\noindent\hrule
\vspace{2mm}
\noindent Vypracoval(a):\hspace{7cm}UČO:\\
\noindent Skupina:
\vspace{2mm}
\hrule 
\bigskip}
}

\newcommand{\reseni}[2]{
{\large 
\noindent {\bf IB102 -- úkol #1 -- řešení \hfill Odevzdání: #2\\[-4mm]}
\noindent\hrule
\vspace{2mm}
\noindent Vypracoval: James Bond \hspace{4.2cm}UČO: 007\ \ \\
\noindent Skupina: MI6
\vspace{2mm}
\hrule 
\bigskip}
}

\begin{document}

\zadani{4}{13.\,10.\,2008}


\noindent
{\bf 1. [2 body]} Určete počet jazykově různých (akceptujících různý jazyk) minimálních deterministických automatů s totální přechodovou funkcí nad abecedou $\Sigma=\{a\}$, které mají právě $n$ stavů a právě jeden akceptující stav. Odpověď zdůvodněte.


\newpage

\zadani{4}{13.\,10.\,2008}

\noindent {\bf 2. [2 body]} Nechť $\Sigma=\{a,b\}$ je abeceda a $\sim_X$ a
$\sim_Y$ jsou relace na $\Sigma^*$.  Pro každou z nich rozhodněte, zda je
pravou kongruencí (rozhodnutí zdůvodněte). Pokud ano, udejte počet tříd
rozkladu $\factor{\Sigma^*}{\sim_X}$ resp. $\factor{\Sigma^*}{\sim_Y}$ a
uveďte alespoň jednoho reprezentanta každé třídy.

\begin{itemize}

\item[a)] \mbox{[1 bod]} $\sim_X$ : $u \sim_X v \Longleftrightarrow |u| = k \cdot |v|
  \mbox{ pro alespoň jedno } k \in \{ \frac{1}{2}, 1, 2 \}$
\item [b)] \mbox{[1 bod]} $\sim_Y$ : $u \sim_Y v \Longleftrightarrow (|u| + |v|) \mbox{ mod } 2 = 0$

\end{itemize}



\end{document}

%%% Local Variables: 
%%% TeX-command-default: "LaTeX"
%%% End: 







