2. Slabý zákon velkých čísel a centrální limitní věta


2.1. Motivace ke slabému zákonu velkých čísel a centrální limitní větě


2.2. Definice: Tři typy konvergence náhodné posloupnosti k náhodné veličině


2.3. Věta: Ověření konvergence podle pravděpodobnosti ke konstantě


2.4. Věta: Čebyševova věta


2.5. Důsledek: Bernoulliova věta


2.6. Příklad: Při výstupní kontrole bylo zjištěno, že mezi 3000 kontrolovanými výrobky je 12
zmetků. Jaká je pravděpodobnost, že relativní četnost výskytu zmetku se od pravděpodobnosti výskytu
zmetku neliší o více než 0,01?

Řešení: Y[3000] – počet zmetků mezi kontrolovanými výrobky, Y[3000 ]~ Bi(3000, ),  ≈ . Podle
Bernoulliovy věty dostáváme: P . V našem případě


ε = 0,01, n = 3000,  ≈ , tedy P


2.7. Věta: Sverdrupova věta


2.8. Věta: Lindebergova – Lévyova CLV


2.9. Poznámka: Generování realizací náhodné veličiny X ~ N(0,1) – ilustrace pomocí systému
STATISTICA


2.10. Důsledek: Moivreova – Laplaceova věta


2.11. Poznámka: Přibližný vzorec na základě M-L věty


2.12. Příklad: 100x nezávisle na sobě hodíme kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že šestka padne
aspoň 20x?

Řešení: Y[100] – počet šestek ve 100 hodech, Y[100] ~ Bi(100, 1/6)

Ověření podmínek dobré aproximace:

 - v pořádku


2.13. Věta: Poissonova věta


2.14. Poznámka: Přibližný vzorec na základě Poissonovy věty


2.15. Příklad: Během zkoušky spolehlivosti se přístroj porouchá s pravděpodobností 0,05. Jaká je
pravděpodobnost, že při zkoušení 100 přístrojů se jich porouchá právě 5?

Řešení: Y[100] – počet porouchaných přístrojů při zkoušení 100 přístrojů, Y[100] ~ Bi(100, 0,05)

Ověření podmínek dobré aproximace: n = 100 >30,  = 0,05 < 0,1 – v pořádku

Přesný výpočet: