4. Bodové a intervalové odhady parametrů a parametrických funkcí


4.1. Motivace


4.2. Definice: Definice parametrického prostoru a parametrické funkce


4.3. Definice: Definice nestranného odhadu, lepšího nestranného odhadu, posloupnosti asymptoticky
nestranných odhadů a konzistentních odhadů


4.4. Důsledek: Vztah mezi jednotlivými typy bodových odhadů


4.5. Věta: Věta o vlastnostech bodových odhadů odvozených z jednoho náhodného výběru.


4.6. Poznámka: Výběrová směrodatná odchylka S není nestranným odhadem směrodatné odchylky σ.


4.7. Věta: Věta o vlastnostech bodových odhadů odvozených z r ≥ 2 nezávislých náhodných výběrů.


4.8. Věta: Věta o vlastnostech bodových odhadů odvozených z jednoho dvourozměrného náhodného
výběru.


4.9. Definice: Definice intervalu spolehlivosti.


4.10. Poznámka: Postup při konstrukci intervalu spolehlivosti.


4.11. Příklad: Nechť X[1], ..., X[n] je náhodný výběr z N(μ,σ^2), kde n ≥ 2 a rozptyl σ^2 známe.
Sestrojte 100(1-α)% interval spolehlivosti pro neznámou střední hodnotu μ.


Řešení: V tomto případě parametrická funkce h( ) = μ. Nestranným odhadem střední hodnoty je
výběrový průměr (viz 1.3.(a)) M = . Protože M je lineární kombinací normálně rozložených náhodných
veličin, bude mít také normální rozložení se střední hodnotou E(M) = μ a rozptylem D(M) = .
Pivotovou statistikou W bude standardizovaná náhodná veličina  ~ N(0,1). Kvantil w[α/2] = u[α/2] =
-u[1-α/2], w[1-α/2] = u[1-α/2].

: 1 – α ≤ P(-u[1-α/2] < U < u[1-α/2]) = .

Meze 100(1-α)% intervalu spolehlivosti pro střední hodnotu μ při známém rozptylu σ^2 tedy jsou:

D = , H = .

Při konstrukci jednostranných intervalů spolehlivosti se riziko nepůlí, tedy 100(1-α)% levostranný
interval spolehlivosti pro μ je  a pravostranný je

.

Dosadíme-li do vzorců pro dolní a horní mez číselnou realizaci m výběrového průměru M, dostaneme
100(1-α)% empirický interval spolehlivosti.


4.12. Příklad: 10 krát nezávisle na sobě byla změřena jistá konstanta μ. Výsledky měření byly: 2
1,8  2,1  2,4  1,9  2,1  2  1,8  2,3  2,2. Tyto výsledky považujeme za číselné realizace náhodného
výběru X[1], ..., X[10] z rozložení N(μ, 0,04), kde parametr μ neznáme. Najděte 95% empirický
interval spolehlivosti pro μ, a to

a)      oboustranný,

b)      levostranný,

c)      pravostranný.

Řešení: m = 2,06, σ^2 = 0,04, σ = 0,2, α = 0,05, u[0,975] = 1,96, u[0,95] = 1,64.

ad a) d = m -  u[1-α/2] = 2,06 - 1,96 = 1,94

               h = m +  u[1-α/2] = 2,06 + 1,96 = 2,18


               1,94 < μ < 2,18 s pravděpodobností aspoň 0,95.

ad b) d = m -  u[1-α] = 2,06 - 1,64 = 1,96


                1,96 < μ  s pravděpodobností aspoň 0,95.

ad c) h = m +  u[1-α] = 2,06 + 1,64 = 2,16

                μ < 2,16 s pravděpodobností aspoň 0,95.


4.13. Poznámka o šířce intervalu spolehlivosti


4.14. Příklad: (stanovení minimálního rozsahu výběru z normálního rozložení)

Nechť X[1], ..., X[n] je náhodný výběr z N(μ, σ^2), kde σ^2 známe. Jaký musí být minimální rozsah
výběru n, aby šířka 100(1-α)% empirického intervalu spolehlivosti pro střední hodnotu μ nepřesáhla
číslo Δ?

Řešení: Požadujeme, aby Δ ≥ h – d = . Z této podmínky dostaneme, že . Za rozsah výběru zvolíme
nejmenší přirozené číslo vyhovující této podmínce.

Odvozený vzorec použijeme v této situaci: v příkladu 4.12. (a) se uživateli zdá 95% empirický
interval spolehlivosti (1,94; 2,18)  pro střední hodnotu μ příliš široký. Přál by si, aby šířka 95%
empirického intervalu spolehlivosti nepřesáhla číslo 0,16. Dostáváme tedy

n ≥  = = =24,01. Podmínku splňuje číslo 25.