5. Metody hledání bodových odhadů parametrů.

                                    Úvod do testování hypotéz.


5.1. Motivace


5.2. Definice: Definice maximálně věrohodného odhadu.


5.3. Definice: Definice věrohodnostních rovnic.


5.4. Příklad: (Maximálně věrohodný odhad v diskrétním skalárním případě)

Nechť X[1], ..., X[n] je náhodný výběr z alternativního rozložení . Metodou maximální věrohodnosti
najděte odhad parametru .

Řešení:

X ~ => π(x) =

Věrohodnostní funkce:  pro x[i] = 0, 1, = 0 jinak.

Logaritmická funkce věrohodnosti:

Věrohodnostní rovnice:


Maximálně věrohodným odhadem parametru  alternativního rozložení  je tedy statistika , tj. výběrový
průměr.


5.5. Příklad: (Maximálně věrohodný odhad ve spojitém vektorovém případě)

Nechť X[1], ..., X[n] je náhodný výběr z normálního rozložení N(μ, σ^2). Metodou maximální
věrohodnosti najděte odhad vektorového parametru = (μ, σ^2).

Řešení: X ~ N(μ, σ^2) => φ(x) = .

Věrohodnostní funkce: = .

Logaritmická funkce věrohodnosti: = .

Věrohodnostní rovnice:

Z první rovnice plyne . Maximálně věrohodným odhadem parametru μ je tedy statistika , tj. výběrový
průměr.

Z druhé rovnice plyne . Za μ dosadíme odhad a získáme . Maximálně věrohodným odhadem parametru σ^2
je tedy statistika .


5.6. Definice: Definice momentového odhadu


5.7. Příklad: Nechť X[1], ..., X[n] je náhodný výběr z geometrického rozložení Ge . Metodou momentů
najděte odhad parametru .

Řešení: X ~ Ge  => π(x) = . Lze odvodit, že .

Momentová rovnice: , tj. .


5.8. Motivace k testování hypotéz.


5.9. Definice: Definice nulové a alternativní hypotézy.


5.10. Definice: Definice chyby 1. a 2. druhu.


5.11. Poznámka: Testování nulové hypotézy proti alternativní hypotéze třemi způsoby.


5.12. Definice: Definice testového kritéria, oboru nezamítnutí, kritického oboru a kritických
hodnot.


5.13. Věta: Rozhodnutí o nulové hypotéze pomocí realizace testového kritéria v oboru nezamítnutí či
v kritickém oboru.


5.14. Věta: Stanovení kritického oboru v případě oboustranné alternativy, levostranné alternativy,
pravostranné alternativy.


5.15. Poznámka: Doporučený postup při testování nulové hypotézy proti alternativní hypotéze pomocí
kritického oboru.


5.16. Věta: Testování nulové hypotézy proti alternativní hypotéze pomocí 100(1-α)% empirického
intervalu spolehlivosti pro parametrickou funkci .


5.17. Věta: Testování nulové hypotézy proti alternativní hypotéze pomocí p-hodnoty.


5.18. Poznámka: Ilustrace významu p-hodnoty.


5.19. Příklad: Nechť X[1], ..., X[400] je náhodný výběr z N(μ,0,01). Je známo, že výběrový průměr
se realizoval hodnotou 0,01. Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu H[0]: μ = 0 proti
pravostranné alternativě H[1]: μ > 0

a)      pomocí intervalu spolehlivosti

b)      pomocí kritického oboru

c)      pomocí p-hodnoty.

Řešení:

ad a) Při testování nulové hypotézy proti pravostranné alternativě používáme levostranný interval
spolehlivosti.

.

Protože číslo c = 0 neleží v intervalu (0,0018; ∞), H[0] zamítáme na hladině významnosti 0,05.

ad b) Vypočteme realizaci testové statistiky:

.

Stanovíme kritický obor:

Protože testová statistika  se realizuje v kritickém oboru, H[0] zamítáme na hladině významnosti
0,05.

ad c) Při testování nulové hypotézy proti pravostranné alternativě se p-hodnota počítá podle
vzorce: p = P(T[0] ≥ t[0]). V našem případě: . Protože p-hodnota je menší než hladina významnosti
0,05, H[0] zamítáme na hladině významnosti 0,05.