Příklady na cvičení ke 3. přednášce


Příklad 1.: Odvoďte hustotu náhodného výběru z normálního rozložení N(μ, σ^2).

Výsledek:


Příklad 2.: Nechť X[1], ..., X[n ]je náhodný výběr z rozložení se střední hodnotou μ a rozptylem
σ^2. Nechť n ≥ 2.

a)      Vypočtěte střední hodnotu a rozptyl výběrového průměru M = .

b)      Vypočtěte střední hodnotu výběrového rozptylu S^2 =

Výsledek: a) μ, b) σ^2


Příklad 3.: Odvození střední hodnoty a rozptylu výběrové distribuční funkce

Nechť X[1], ..., X[n ]je náhodný výběr z rozložení s distribuční funkcí Φ(x). Nechť n ≥ 2.

Pro libovolné, ale pevně zvolené reálné x vypočtěte střední hodnotu a rozptyl výběrové distribuční
funkce .

Výsleek: E(F[n](x)) = Φ(x), D(F[n](x)) = Φ(x)(1- Φ(x))/n.


Příklad 4.: Odvození střední hodnoty výběrové kovariance

Nechť (X[1],Y[1]), ..., (X[n],Y[n]) je náhodný výběr z dvourozměrného rozložení s vektorem
středních hodnot (μ[1], μ[2]) a  kovariancí σ[12]. Vypočtěte střední hodnotu výběrové kovariance
S[12] = .

Výsledek: σ[12]


Příklad 5.: Jsou dány hodnoty 10, 12, 8, 9, 16. Považujeme je za realizace náhodného výběru
z rozložení, které má střední hodnotu μ, rozptyl σ^2 a distribuční funkci Φ(x). Vypočtěte realizace
výběrového průměru, výběrového rozptylu, výběrové směrodatné odchylky a sestrojte graf výběrové
distribuční funkce.

Výsledek: m = 11, s^2 = 10, s = √10.


Příklad 6.: Výpočet výběrového koeficientu korelace

Máme k dispozici výsledky testů ze dvou předmětů zjištěné u osmi náhodně vybraných studentů
určitého oboru.


Číslo studenta

                      1

                        2

                          3

                            4

                              5

                                6

                                  7

                                    8

Počet bodů v 1. testu

                      80

                        50

                          36

                            58

                              42

                                60

                                  56

                                    68

Počet bodů ve 2. testu

                      65

                        60

                          35

                            39

                              48

                                44

                                  48

                                    61


Vypočtěte a interpretujte výběrový koeficient korelace. Pro usnadnění výpočtů máte k dispozici tyto
součty:

Výsledek: 0,6668. Lze tedy soudit, že mezi výsledky obou testů existuje středně silná přímá
lineární závislost.