Příklady na cvičení ke 4. přednášce


Příklad 1.: Nezávisle opakovaná laboratorní měření určité konstanty jsou charakterizována náhodným
výběrem X[1], ..., X[n], E(X[i]) = μ, D(X[i]) = σ^2, i = 1, ..., n. Uvažme statistiky

.

a)      Dokažte, že M[n ]a L[n ]jsou nestranné odhady konstanty μ a zjistěte, který z nich je
lepší.

b)      Dokažte, že  tvoří posloupnosti asymptoticky nestranných odhadů konstanty μ.

c)      Zjistěte, zda  tvoří posloupnosti konzistentních odhadů konstanty μ.

Výsledek: a) M[n] je lepší odhad než L[n] pro n ≥ 3. b) Asymptotická nestrannost plyne
z nestrannosti. c)  je posloupností konzistentních odhadů konstanty μ, avšak  není posloupností
konzistentních odhadů konstanty μ.


Příklad 2.: Nechť  a  jsou stochasticky nezávislé náhodné výběry, první z rozložení se střední
hodnotou μ[1] a rozptylem σ^2, druhý z rozložení se střední hodnotou μ[2] a rozptylem σ^2. Označme
M[1], M[2] výběrové průměry, S[1]^2, S[2]^2 výběrové rozptyly a

 vážený průměr výběrových rozptylů

a)      Dokažte, že statistika M[1] - M[2] je nestranným odhadem parametrické funkce μ[1] - μ[2].

b)      Dokažte, že S[*]^2 je nestranným odhadem σ^2.


Příklad 3.: Nechť X[1], ..., X[n] je náhodný výběr z rozložení Rs(0,b), kde b > 0 je neznámý
parametr. Jsou definovány statistiky T[1] =  a
T[2] = . Ukažte, že T[1], T[2] jsou nestranné odhady parametru b a určete, který odhad je lepší.

Výsledek: T[2]  je lepší než T[1].


Příklad 4.: Nechť X[1], ..., X[9] je náhodný výběr z rozložení N(μ;0,01). Realizace výběrového
průměru je m = 3. Sestrojte 100(1-α)% empirický interval spolehlivosti pro neznámou střední hodnotu
μ, je-li a) α = 0,01, b) α = 0,05, c) α = 0,1.

Výsledek: a) 2,914 mm < μ < 3,086 mm s pravděpodobností aspoň 0,99.

b) 2,935 mm < μ < 3,065 mm s pravděpodobností aspoň 0,95.

c) 2,945 mm < μ < 3,055 mm s pravděpodobností aspoň 0,90.


Příklad 5.: Nechť X[1], ..., X[n] je náhodný výběr z rozložení N(μ;0,01). Realizace výběrového
průměru je m = 3. Sestrojte 95% empirický interval spolehlivosti pro neznámou střední hodnotu μ,
je-li  a) n = 4, b) n = 9, c) n = 16.

Výsledek: a) 2,902 mm < μ < 3,098 mm s pravděpodobností aspoň 0,95.

b) 2,935 mm < μ < 3,065 mm s pravděpodobností aspoň 0,95.

c) 2,951 mm < μ < 3,049 mm s pravděpodobností aspoň 0,95.


Příklad 6.: Nechť X[1], ..., X[n] je náhodný výběr z rozložení N(μ, 0,04). Jaký musí být minimální
rozsah výběru, aby šířka 95% intervalu spolehlivosti pro μ nepřesáhla číslo 0,16?

Výsledek: n ≥ 25

Příklad 7.: Hloubka moře se měří přístrojem, jehož systematická chyba je nulová a náhodné chyby
měření mají normální rozložení se směrodatnou odchylkou σ = 1 m. Kolik měření je nutno provést, aby
se hloubka moře stanovila s chybou nejvýše 0,25 m při riziku 0,05?

Výsledek: n ≥ 62