Příklady na cvičení k 5. přednášce


Příklad 1.: Najděte odhad parametru λ Poissonova rozložení Po(λ)

a)      metodou maximální věrohodnosti

b)      metodou momentů.

Výsledek: V obou případech dostaneme výběrový průměr.


Příklad 2.: Metodou maximální věrohodnosti najděte odhad parametru λ exponenciálního rozložení
Ex(λ).

Výsledek:


Příklad 3.: Metodou momentů najděte odhad parametrů μ, σ^2 normálního rozložení N(μ, σ^2).

Výsledek: ,


Příklad 4.: Jsou dány realizace 0,1,0,1,0 náhodného výběru rozsahu 5 z alternativního rozložení .
Najděte věrohodnosti předpokladů  a .

Výsledek: Pro = 0,3 máme  a pro = 0,5 máme .


Příklad 5.: Metodou momentů najděte odhady parametrů  rozložení gamma .

Výsledek:


Příklad 6.: 10 x nezávisle na sobě byla změřena jistá konstanta μ. Výsledky měření byly: 2  1,8
2,1  2,4  1,9  2,1  2  1,8  2,3  2,2. Tyto výsledky považujeme za číselné realizace náhodného
výběru X[1], ..., X[10] z rozložení N(μ, 0,04). Nějaká teorie tvrdí, že μ = 1,95. Proti nulové
hypotéze H[0]: μ = 1,95 postavíme oboustrannou alternativu H[1]: μ  1,95. Na hladině významnosti
0,05 testujte H[0] proti H[1]

a) pomocí kritického oboru

b) pomocí intervalu spolehlivosti

c) pomocí p-hodnoty

Výsledek: m = 2,06, σ^2 = 0,04, n = 10, α = 0,05, c = 1,95

a) Testové kritérium se realizuje hodnotou 1,74. Ta nepatří do kritického oboru , tedy H[0]
nezamítáme na hladině významnosti 0,05.

b) Protože 1,95 (1,936; 2,184), H[0] nezamítáme na hladině významnosti 0,05.

c)  Jelikož p = 0,08186 > 0,05, H[0] nezamítáme na hladině významnosti 0,05.


Příklad 7.: Uvažme data z 6. příkladu. Proti nulové hypotéze H[0]: μ = 1,95 postavíme levostrannou
alternativu H[1]: μ < 1,95. Na hladině významnosti 0,05 testujte H[0] proti H[1]

a) pomocí kritického oboru

b) pomocí intervalu spolehlivosti

c) pomocí p-hodnoty

Výsledek: m = 2,06, σ^2 = 0,04, n = 10, α = 0,05, c = 1,95

a) Testové kritérium se realizuje hodnotou 1,74. Ta nepatří do kritického oboru , tedy H[0]
nezamítáme na hladině významnosti 0,05.

b) Protože 1,95 (-∞; 2,164), H[0] nezamítáme na hladině významnosti 0,05.

c)  Jelikož p = 0,95907 > 0,05, H[0] nezamítáme na hladině významnosti 0,05.


Příklad 8.: Uvažme data z 6. příkladu. Proti nulové hypotéze H[0]: μ = 1,95 postavíme pravostrannou
alternativu H[1]: μ > 1,95. Na hladině významnosti 0,05 testujte H[0] proti H[1]

a) pomocí kritického oboru

b) pomocí intervalu spolehlivosti

c) pomocí p-hodnoty

Výsledek: m = 2,06, σ^2 = 0,04, n = 10, α = 0,05, c = 1,95

a) Testové kritérium se realizuje hodnotou 1,74. Ta patří do kritického oboru , tedy H[0] zamítáme
na hladině významnosti 0,05.

b) Protože 1,95  (1,956; ∞), H[0] zamítáme na hladině významnosti 0,05.

c)  Jelikož p = 0,04093 ≤ 0,05, H[0] zamítáme na hladině významnosti 0,05.