Základy matematiky -- podzim 2008 -- 2. termín -- 23.1.2009
Jméno:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
test
Hodnocení
cel.suma zn.
UČO: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1. (7krát 1 bod (správně 1 bod, chybně -1, bez odpovědi 0 -- při záporném součtu se do celkového hodnocení
započítá 0))
Odpovězte (škrtnutím nehodícího se ano nebo ne na patřičném řádku), zda jsou pravdivá následující
tvrzení (čtěte velmi pozorně!):
(a) ano -- ne Mezi množinami N a Z existuje bijekce.
(b) ano -- ne Maximální prvek uspořádané množiny je minimální prvek duálně uspořádané
množiny.
(c) ano -- ne Pro libovolné množiny A, B, C a zobrazení f : A  B, g : B  C platí:
g  f je bijektivní = f, g jsou bijektivní.
(d) ano -- ne Relace  na množině A je antisymetrická právě tehdy, když   -1
= .
(e) ano -- ne Je-li uspořádaná množina (A, ) úplný svaz, pak pro libovolnou podmnožinu
B  A je uspořádaná množina (B, ) také úplný svaz.
(f) ano -- ne Prázdná množina  je neutrální prvek monoidu (P(A), ).
(g) ano -- ne Zobrazení f : (R - {0})  (R - {0}) dané předpisem f(r) = -r je izomorfismus
grupy (R - {0}, ) do sebe.
2. (7 bodů) Definujte pojem rozkladu množiny A. Definujte pojem relace ekvivalence na množině A
a rozklad příslušný této relaci (tzv. faktorová množina). Definujte projekci na faktorovou množinu
příslušnou dané relaci ekvivalence.
3. (3krát 2 body) Student má k dispozici na výběr předměty dvou oborů: 5 informatických a 5 matematických.
Určete, kolika způsoby si může student vybrat k zápisu 4 předměty tak, aby
(a) -- (bez omezení);
(b) dva předměty byly informatické a dva matematické;
(c) všechny předměty byly z jednoho oboru.
Odpověď: a) b) c)
4. (5krát 2 body) Udejte příklad
(a) nespočetné množiny a relace ekvivalence na ní, takové, že příslušný rozklad je spočetný;
(b) konečného tělesa;
(c) svazu, který není úplný svaz;
(d) relací  =  na množině M = {a, b} takových, že    =   ;
(e) uspořádání pětiprvkové množiny, kde 2 prvky jsou maximální, 3 prvky jsou minimální a každý
maximální prvek je větší než libovolný minimální.
5. (10 bodů) Buď (G, ) grupa a g  G pevně zvolený prvek. Definujeme binární operaci  na množině
G vztahem
a  b = a  g  b, pro a, b  G.
Rozhodněte, zda je  asociativní operace.
Rozhodněte, zda existuje pro operaci  neutrální prvek.
Rozhodněte, zda je (G, ) grupa.
Rozhodněte, zda je (G, ) komutativní grupa.
Odpovědi zdůvodněte.
6. (10 bodů) Pro libovolné n  N označujeme Xn = {1, 2, . . . , n}.
Určete, kolik je izotonních zobrazení z (X2, ) do (P(Xn), ).
Určete, kolik z nich je injektivních.
Postup výpočtu komentujte.
7. (10 bodů) Buď na množině Z × Z definována relace  takto:
(a, b)  (c, d)  (2 | a - c  5 | b - d), pro a, b, c, d  Z.
Dokažte, že  je relace ekvivalence na množině Z × Z.
Popište rozklad Z × Z\.
Určete, kolik má tento rozklad tříd a kolik prvků mají jednotlivé třídy.
8. (10 bodů) Na množině M = P(N) definujeme binární relaci  takto:
X  Y  (X  Y  Y - X konečná ), pro X, Y  M.
Dokažte, že  je uspořádání množiny M.
Nalezněte všechny minimální, maximální, nejmenší a největší prvky uspořádané množiny (M, ).
Je (M, ) svaz?
Je (M, ) úplný svaz?
Uvažujme zobrazení id : M  M dané předpisem id(X) = X.
Rozhodněte, zda id : (M, )  (M, ) je izotonní zobrazení.
Odpovědi zdůvodněte.
9. (10 bodů) Buď A libovolná množina a R relace na této množině. Pro i  N definujeme induktivně
Ri
takto: R1
= R a Rk+1
= Rk
 R pro k  N. Ekvivalentně: pro a, b  A platí (a, b)  Ri
tehdy a
jen tehdy, když existují prvky a0, a1, . . . , ai  A takové, že a = a0, b = ai a platí (ak-1, ak)  R pro
libovolné k  {1, . . . , i}. Označme Rel(A) množinu všech relací na množině A a Ref(A) množinu
všech reflexivních relací na množině A, tj. Ref(A)  Rel(A), přičemž obě množiny Ref(A) i
Rel(A) jsou uspořádány inkluzí. Uvažujme zobrazení  : Rel(A) × N  Rel(A) dané předpisem
((R, n)) = Rn
pro R  Rel(A), n  N.
Rozhodněte, zda je  izotonní zobrazení z (Rel(A), ) × (N, ) do (Rel(A), ).
Rozhodněte, zda je  izotonní zobrazení z (Rel(A), ) × (N, =) do (Rel(A), ).
Rozhodněte, zda je  izotonní zobrazení z (Ref(A), ) × (N, ) do (Rel(A), ).
Rozhodněte, zda je  izotonní zobrazení z (Ref(A), ) × (N, =) do (Rel(A), ).
Odpovědi zdůvodněte.
(Součin uspořádaných množin (K, ) × (L, ) je množina K × L s uspořádáním  daným předpisem
(k, l)  (k , l )  k  k  l  l , pro k, k  K a l, l  L.)