Základy matematiky -- podzim 2008 -- 1. opravný termín -- 29.1.2009
Jméno:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
test
Hodnocení
cel.suma zn.
UČO: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1. (7krát 1 bod (správně 1 bod, chybně -1, bez odpovědi 0 -- při záporném součtu se do celkového hodnocení
započítá 0))
Odpovězte (škrtnutím nehodícího se ano nebo ne na patřičném řádku), zda jsou pravdivá následující
tvrzení (čtěte velmi pozorně!):
(a) ano -- ne Existuje množina A taková, že existuje bijekce z množiny A do množiny P(A).
(b) ano -- ne Pro libovolnou bijekci f : A  B existuje zobrazení g : B  A takové, že
g  f = idA.
(c) ano -- ne Každá uspořádaná množina obsahuje pouze konečně mnoho maximálních prvků
(d) ano -- ne Je-li f : A  B izomorfismus uspořádaných množin (A, ) a (B, ), pak platí:
(A, ) je úplný svaz = (B, ) je úplný svaz.
(e) ano -- ne Okruh (Z4, +, ) zbytkových tříd modulo 4 je těleso.
(f) ano -- ne Prázdná relace, tj. , je symetrická relace na libovolné množině.
(g) ano -- ne Množina všech relací na množině N, která jsou zobrazení, uspořádaná inkluzí,
tvoří úplný svaz.
2. (7 bodů) Definujte pojmy uspořádané množiny a úplného svazu. Definujte všechny užité pojmy.
3. (3krát 2 body) Při písemce rozesazujeme 16 studentů do 4 řad a 4 sloupců, přičemž studenti
v prvním a třetím sloupci píší skupinu A a studenti v druhém a čtvrtém sloupci píší skupinu B.
Určete, kolika způsoby lze studenty rozesadit, pokud nám záleží
(a) kdo kde sedí;
(b) kdo sedí ve které řadě;
(c) kdo bude psát jakou skupinu.
Odpověď: a) b) c)
4. (5krát 2 body) Udejte příklad
(a) konečné uspořádané množiny (A, ) a její podmnožiny B  A takové, že (A, ) je svaz a
(B, ) není svaz;
(b) binární operace na množině {a, b}, pro kterou neexistuje neutrální prvek;
(c) relací  a  na množině N takových, že    =  a    = ;
(d) uspořádání na množině R, kde je nekonečně mnoho minimálních prvků a žádný maximální
prvek;
(e) izotonního surjektivního zobrazení z (Z, ) do (N, ).
5. (10 bodů) Na množině M = Z10 × Z2 definujeme binární operaci  vztahem
([a]10, [b]2)  ([c]10, [d]2) = ([a + (-1)b
c]10, [b + d]2), pro a, b, c, d  Z .
Víme, že (M, ) je grupa. (Nedokazujte!)
Rozhodněte, zda předpis (([a]10, [b]2)) = [a]10, pro a, b  Z, zadává homomorfismus z grupy (M, )
do grupy (Z10, +).
Rozhodněte, zda předpis (([a]10, [b]2)) = [b]2, pro a, b  Z, zadává homomorfismus z grupy (M, )
do grupy (Z2, +).
Rozhodněte, zda předpis (([a]10, [b]2)) = [a + b]10, pro a, b  Z, zadává homomorfismus z grupy
(M, ) do grupy (Z10, +).
Rozhodněte, zda předpis (([a]10, [b]2)) = [a + b]2, pro a, b  Z, zadává homomorfismus z grupy
(M, ) do grupy (Z2, +).
Odpovědi zdůvodněte. (Nezapomeňte na korektnost předpisu.)
6. (10 bodů) Pro libovolné n  N označujeme Xn = {1, 2, . . . , n}.
Určete, kolik je izotonních zobrazení z (X3, ) do (P(Xn), ).
Určete, kolik z nich je injektivních.
Postup výpočtu komentujte.
7. (10 bodů) Označme M = {x  Z | 0  x < 1000} a na množině M definujme binární relaci 
takto:
x  y  11 | x - y 
x
100
=
y
100
, pro x, y  M.
kde [n] značí celou část racionálního čísla n  Q, tj. největší celé číslo menší nebo rovno n.
Dokažte, že  je relace ekvivalence na množině M.
Popište rozklad M\.
Určete, kolik má tento rozklad tříd a kolik prvků mají jednotlivé třídy.
8. (10 bodů) Na množině Q definujeme binární relaci takto:
x y  (x = y  x2
< y2
), pro x, y  Q.
Dokažte, že je uspořádání množiny Q.
Nalezněte všechny minimální, maximální, nejmenší a největší prvky uspořádané množiny (Q, ).
Je (Q, ) svaz?
Je (Q, ) úplný svaz?
Uvažujme zobrazení f : Q  Z dané předpisem f(x) = 0 pro x < 100 a f(x) = 1 pro x  100.
Rozhodněte, zda f : (Q, )  (Z, ) je izotonní zobrazení.
Odpovědi zdůvodněte.
9. (10 bodů) Buď A libovolná konečná množina a R relace na této množině. Pro i  N definujeme
induktivně Ri
takto: R1
= R a Rk+1
= Rk
 R pro k  N. Ekvivalentně: pro a, b  A platí
(a, b)  Ri
tehdy a jen tehdy, když existují prvky a0, a1, . . . , ai  A takové, že a = a0, b = ai a platí
(ak-1, ak)  R pro libovolné k  {1, . . . , i}.
Dokažte, že pokud R je reflexivní relace a množina A má právě n prvků, potom Rn
= Rn-1
.
Pro množinu A = {1, . . . , n} dejte příklad relace R na této množině takové, že Rn
= Rn-1
.
Pro množinu A = {1, . . . , n} dejte příklad reflexivní relace R na této množině, takové, že Ri
= Ri-1
pro i = {2, . . . , n - 1}.
Odpovědi zdůvodněte.