Vnitrosemestrální písemka -- Základy matematiky, B, 7. 11. 2008
Jméno: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hodnocení
UČO: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Na každý příklad získáte nezáporný počet bodů. Celkový součet bude zaokrouhlen na celé body. Maximum
20 bodů. Pro řešení použijte volné místo nebo druhou stranu. Na vypracování máte 90 min.
1. (2 body (za každou správnou odpověď 1/2, chybnou -1/2, bez odpovědi 0)) Odpovězte (škrtnutím
nehodícího se ano nebo ne na patřičném řádku), zda jsou pravdivá následující tvrzení:
(a) ano -- ne {} - ({} - {}) = ({} - {}) - {},
(b) ano -- ne A ×  =  × A pro libovolnou množinu A,
(c) ano -- ne {}
= {}
,
(d) ano -- ne P()  P({}).
2. (5 bodů (za každou správnou odpověď 1/3, chybnou -1/3, bez odpovědi 0)) Do každého pole tabulky
doplňte ano (resp. ne), jestliže daná relace  na množině všech přirozených sudých čísel S = {2n |
n  N} = {2, 4, 6, 8, . . . } splňuje (resp. nesplňuje) příslušnou vlastnost.
reflexivní symetrická tranzitivní
a  b  4 | a + b
a  b  a  10  ab  100
a  b  2a
< 3b
a  b  4 | a2
+ b2
a  b  |a - b|  3
3. (2 body) Určete, pro které množiny a a b má množina {a, b} × {, {a}, b} právě 2 prvky.
Určete, pro které množiny a a b má množina {a, b} × {, {a}, b} právě 3 prvky.
4. (2 body) Dokažte, že pro libovolné množiny A, B, C a D platí
A  B  C  D = (B - C)  (D - A) = (B  D) - (A  C).
5. (4 body) Buď R = {(a, b)  Z × Z | a2
= b2
} relace na množině Z.
Nalezněte: (Relace zadávejte množinově, nikoli obrázkem.)
(a) relaci f  R na množině Z, která je zobrazení a není reflexivní relace;
(b) relaci g na množině Z, která je zobrazení a pro niž g  R není tranzitivní relace;
(c) relaci S na množině Z takovou, že S  S = S a (S  S)  S = S;
(d) relaci U na množině Z takovou, že U  R =  a pro niž relace U  R je zobrazení.
6. (3 body) Rozhodněte, zda pro libovolné dvě množiny A, B platí
P(A ÷ B)  P(A) ÷ P(B).
Rozhodněte, zda pro libovolné dvě množiny A, B platí
P(A) ÷ P(B)  P(A ÷ B).
Odpovědi zdůvodněte! (Připomeňme, že pro libovolné dvě množiny X, Y platí X÷Y = (X-Y )(Y -X).)
7. (2 body) Buď  : NN
 NN
zobrazení definované takto:
pro libovolné zobrazení f : N  N klademe (f) = f  f.
Rozhodněte, zda  je injektivní zobrazení.
Rozhodněte, zda  je surjektivní zobrazení.
Odpovědi zdůvodněte!