MB101 ­ Matematika I
TŘETÍ TEST
Sem. sk. 01, 19. 11. 2008
Zadání si ponecháváte. Všechny listy, které budete odevzdávat, čitelně podepište. Zároveň uveďte
také svoje UČO.
Příklad 1 (3 body). Napište axiomy vektorového prostoru V (tj. podmínky, jejichž splnění znamená,
že množina V s operacemi + : V × V  V a  : R × V  V je vektorovým prostorem).
Poté zjistěte, zda je množina
U1 := {(x1, x2, x3)T
 R3
; | x1 | = | x2 | = | x3 |}
podprostorem vektorového prostoru R3
a množina
U2 := {ax2
+ c; a, c  R}
podprostorem P2 (tedy prostoru polynomů stupně nejvýše 2).
Výsledek. Množina U1 není vektorovým (pod)prostorem (to plyne např. ze součtu vektorů (1, 1, 1)T
,
(-1, 1, 1)T
), množina U2 ovšem ano.
Příklad 2 (1 bod). Utvářejí matice
1 2
5 4
,
0 2
5 4
,
0 0
5 4
,
0 0
0 4
bázi prostoru Mat2×2?
Výsledek. Protože
1 2 5 4
0 2 5 4
0 0 5 4
0 0 0 4
= 1  2  5  4 = 40 = 0,
uvedené matice ­ vektory (v libovolném pořadí) ­ zadávají bázi prostoru Mat2×2.
Příklad 3 (2 body). Nechť jsou dány podprostory
Span


1
1
-3

 ,


1
2
2

 , Span


1
1
-1

 ,


1
2
1

 ,


1
3
3


vektorového prostoru R3
. Určete dimenzi a bázi průniku těchto podprostorů. (Nápověda otázkou:
Znáte báze těchto podprostorů?)
Výsledek. Hledaný podprostor je množina všech skalárních násobků vektoru (3, 5, 1)T
(jedná se
o přímku procházející počátkem s tímto směrovým vektorem). Je tudíž jednodimenzionální.
1
2
Příklad 4 (3 body). Najděte matici lineární transformace L prostoru R3
ve standardní bázi
e = ((1, 0, 0)T
, (0, 1, 0)T
, (0, 0, 1)T
), pokud je
L (2, 3, 5)T
= (1, 1, 1)T
, L (0, 1, 2)T
= (1, 1, -1)T
, L (1, 0, 0)T
= (2, 1, 2)T
.
Výsledek. Neboť víme, že zobrazení L odpovídá v bázích e (báze tzv. cílového prostoru), u =
((2, 3, 5)T
, (0, 1, 2)T
, (1, 0, 0)T
) matice


1 1 2
1 1 1
1 -1 2

 ,
lineární transformace L je reprezentována v bázi e maticí


2 -11 6
1 -7 4
2 -1 0

 =


1 1 2
1 1 1
1 -1 2

 


0 2 -1
0 -5 3
1 -4 2

 =


1 1 2
1 1 1
1 -1 2

 


2 0 1
3 1 0
5 2 0


-1
.
Příklad 5 (1 bod). V euklidovském prostoru R4
definujte pojmy ,,délka vektoru" a ,,úhel" (mezi
2 nenulovými vektory) a spočtěte délku vektorů u = (2, 2, 0, 1)T
, v = (2, -2, 1, 0)T
a úhel mezi nimi.
Výsledek. Snadno lze vypočíst, že
|| u || = || v || = 3, u  v.
Příklad 6 (3 body). V euklidovském prostoru R5
určete ortogonální doplněk W 
podprostoru
W, jestliže
(a) W = {(r + s + t, -r + t, r + s, -t, s + t)T
; r, s, t  R};
(b) W je množina řešení soustavy rovnic x1 - x3 = 0, x1 - x2 + x3 - x4 + x5 = 0.
Výsledek. Platí
(a) W
= Span






1
0
-1
1
0






,






1
3
2
1
-3






;
(b) W
= Span






1
0
-1
0
0






,






1
-1
1
-1
1






.
3
Příklad 7 (2 body). Stanovte R(A), R AT
, Im A, Im AT
, dim R(A), dim R AT
, dim Im A,
dim Im AT
, dim Ker A a dim Ker AT
pro
A =




1 2 0 4 5
2 0 0 2 3
0 0 0 1 1
-1 2 0 0 0



 .
Výsledek. Správné odpovědi jsou dim R(A) = dim R AT
= dim Im A = dim Im AT
= 3, dim
Ker A = 2, dim Ker AT
= 1,
R(A) = Span (1, 2, 0, 4, 5), (2, 0, 0, 2, 3), (0, 0, 0, 1, 1) ,
R AT
= Span (1, 2, 0, -1) , (2, 0, 0, 2) , (4, 2, 1, 0)
a Im A = R AT
, Im AT
= R(A) při ztotožnění řádkových a sloupcových vektorů.