MB101 ­ Matematika I
TŘETÍ TEST
Sem. sk. 01, 19. 11. 2008
Zadání si ponecháváte. Všechny listy, které budete odevzdávat, čitelně podepište. Zároveň uveďte
také svoje UČO.
Příklad 1 (3 body). Napište axiomy vektorového prostoru V (tj. podmínky, jejichž splnění znamená,
že množina V s operacemi + : V × V  V a  : R × V  V je vektorovým prostorem).
Poté zjistěte, zda je množina
U1 := {(x1, x2, x3)T
 R3
; | x1 | = | x2 | = | x3 |}
podprostorem vektorového prostoru R3
a množina
U2 := {ax2
+ c; a, c  R}
podprostorem P2 (tedy prostoru polynomů stupně nejvýše 2).
Příklad 2 (1 bod). Utvářejí matice
1 2
5 4
,
0 2
5 4
,
0 0
5 4
,
0 0
0 4
bázi prostoru Mat2×2?
Příklad 3 (2 body). Nechť jsou dány podprostory
Span


1
1
-3

 ,


1
2
2

 , Span


1
1
-1

 ,


1
2
1

 ,


1
3
3


vektorového prostoru R3
. Určete dimenzi a bázi průniku těchto podprostorů. (Nápověda otázkou:
Znáte báze těchto podprostorů?)
Příklad 4 (3 body). Najděte matici lineární transformace L prostoru R3
ve standardní bázi
e = ((1, 0, 0)T
, (0, 1, 0)T
, (0, 0, 1)T
), pokud je
L (2, 3, 5)T
= (1, 1, 1)T
, L (0, 1, 2)T
= (1, 1, -1)T
, L (1, 0, 0)T
= (2, 1, 2)T
.
Příklad 5 (1 bod). V euklidovském prostoru R4
definujte pojmy ,,délka vektoru" a ,,úhel" (mezi
2 nenulovými vektory) a spočtěte délku vektorů u = (2, 2, 0, 1)T
, v = (2, -2, 1, 0)T
a úhel mezi nimi.
Příklad 6 (3 body). V euklidovském prostoru R5
určete ortogonální doplněk W 
podprostoru
W, jestliže
(a) W = {(r + s + t, -r + t, r + s, -t, s + t)T
; r, s, t  R};
(b) W je množina řešení soustavy rovnic x1 - x3 = 0, x1 - x2 + x3 - x4 + x5 = 0.
Příklad 7 (2 body). Stanovte R(A), R AT
, Im A, Im AT
, dim R(A), dim R AT
, dim Im A,
dim Im AT
, dim Ker A a dim Ker AT
pro
A =




1 2 0 4 5
2 0 0 2 3
0 0 0 1 1
-1 2 0 0 0



 .