MB101 ­ Matematika I
ČTVRTÝ TEST
Sem. sk. 01, 10. 12. 2008
Zadání si ponecháváte. Všechny listy, které budete odevzdávat, čitelně podepište. Zároveň uveďte
také svoje UČO.
Příklad 1 (2 body). Nechť je dán vektorový prostor (V, +, ). Napište definici skalárního součinu
na V . Pro V = P2 (tedy ve vektorovém prostoru polynomů stupně nejvýše 2) zaveďte libovolný
skalární součin a v tomto prostoru se skalárním součinem vypočtěte úhel mezi vektory x a x2
.
Příklad 2 (2 body). Body [0, 1], [1, 1], [2, 3], [5, 5] proložte regresní přímku.
Příklad 3 (2 body). V euklidovském prostoru R4
určete vzdálenost v a odchylku  vektoru
(2, 1, 2, 3)T
od podprostoru
W = (x1, x2, x3, x4)T
 R4
; x4 = 0 .
Příklad 4 (2 body). Sestrojte ortogonální bázi podprostoru
Span




1
1
1
1



 ,




1
1
1
-1



 ,




-1
1
1
1




euklidovského prostoru R4
.
Příklad 5 (3 body). Definujte pojmy ,,vlastní hodnota" a ,,vlastní vektor příslušející této vlastní
hodnotě" pro obecnou (blíže neupřesněnou) reálnou čtvercovou matici A a poté najděte charakteristický
polynom p(), vlastní hodnoty a vlastní vektory matice


0 0 1
0 1 0
1 0 0

 .
Příklad 6 (1 bod). Ze znalosti stopy a vlastních hodnot 1 = 1, 2 = 2 matice


5 2 -3
4 5 -4
6 4 -4


získejte její zbývající vlastní hodnotu 3.
Příklad 7 (3 body). Lze vyjádřit matici
B =
5 6
6 5
ve tvaru součinu B = P-1
 D  P pro nějakou diagonální matici D a regulární matici P? Pokud je to
možné, uveďte příklad takové dvojice matic D, P a zjistěte, zda takových dvojic existuje více než 5.