MB101 ­ Matematika I
Dodatečný test
Sem. sk. 01, 17. 12. 2008
Příklad 1 (5 bodů). Podle magnetických vlastností dělíme látky na diamagnetické, paramagnetické
a feromagnetické. Určete počet všech možných rozdělení 8 látek podle magnetických vlastností,
která se liší tím, kolik z nich je diamagnetických, paramagnetických, feromagnetických.
Příklad 2 (5 bodů). Dvě osoby se domluvily, že se setkají na určitém místě mezi 12.00 a 16.00.
Časy jejich příchodů jsou náhodné. Osoba, která přijde na dané místo první, počká 1 hodinu. Nedočká-li
se druhé, odejde. Jaká je pravděpodobnost, že se setkají?
Příklad 3 (5 bodů). Vypište všechny relace na dvouprvkové množině {1, 2}, které současně
nejsou reflexivní, jsou symetrické a nejsou tranzitivní.
Příklad 4 (5 bodů). Vyřešte systém lineárních rovnic
x2 + x4 = 1,
3x1 - 2x2 - 3x3 + 4x4 = -2,
x1 + x2 - x3 + x4 = 2,
x1 - x3 = 1.
Příklad 5 (5 bodů). Nalezněte inverzní matici k matici






8 3 0 0 0
5 2 0 0 0
0 0 -1 0 0
0 0 0 1 2
0 0 0 3 5






.
Příklad 6 (5 bodů). Spočtěte
3 2 0 1
1 -1 0 3
-7 2 3 5
2 0 0 4
.
Příklad 7 (5 bodů). Ve vektorovém prostoru R3
najděte matici přechodu od báze u k bázi v,
přičemž
u = (0, 1, 0)T
, (0, 0, 1)T
, (1, 0, 0)T
, v = (0, 0, 1)T
, (1, 0, 0)T
, (0, 1, 0)T
.
Příklad 8 (5 bodů). Pro jaké hodnoty parametrů a, b  R jsou vektory
(1, 1, 2, 0, 0)T
, (1, -1, 0, 1, a)T
, (1, b, 2, 3, -2)T
v euklidovském prostoru R5
po dvou ortogonální?
Příklad 9 (5 bodů). Stanovte libovolnou bázi Im AT
, je-li
A =


4 2 2 1 -2
1 2 -2 -2 1
6 0 8 6 -6

 .
Příklad 10 (5 bodů). V euklidovském prostoru R3
určete projekci vektoru (1, 1, 3)T
na podpro-
stor
Span


2
1
1

 ,


2
-1
1

 .
Příklad 11 (5 bodů). Uveďte geometrickou násobnost jednotlivých vlastních hodnot matice




4 0 0 0
1 4 0 0
5 2 3 0
0 4 0 3



 .
Příklad 12 (5 bodů). V jisté africké přírodní rezervaci žije konstantní počet K slonů, kteří volně
přecházejí ze severní části rezervace do jižní a opačným směrem. Sloni jsou označeni a pravidelně každý
měsíc ­ se určuje, ve které části rezervace je který slon. Takto se zjistilo, že 60 % slonů, kteří
byli před měsícem v severní části rezervace, je v jižní části a že 30 % slonů, kteří byli před měsícem
v jižní části, je v severní. Za předpokladu, že se sloni budou přesně takto přesouvat i nadále, vyjádřete
hodnotu (jako podíl K), na které se po dostatečně dlouhé době ustálí počet slonů v jižní části.
Hodně štěstí u zkoušky! (Mnozí je budete potřebovat. . . )