Vektorové prostory III - ddú



1. Následující zobrazení napište pomocí násobení maticí, tj. ve tvaru f(x) = A.x

a) identické zobrazení id: R^3 -> R^3

b) násobení pevně zvoleným skalárem a Î R v prostoru R^3

c) překlopení podle počátku v prostoru R^3

tip: nejprve nalezněte předpis zobrazení

                                                 / 1 0 0 \        / a 0 0 \       / -1 0 0 \      .

                                                [ | 0  1  0 | .x ; | 0 a  0 | .x ; | 0 -1 0  | .x ]

                                                 \ 0 0 1 /        \ 0 0 a /        \0 0 -1 /      .


2. Vektor x Î R^3 má v bázi α = (u[1], u[2], u[3]) souřadnice (x)[α] = (1,-3,2)^T. Určete jeho
souřadnice v bázi β = (v[1], v[2], v[3]), jestliže

a) u[1] = 3v[1] + 2v[2] + v[3], u[2] = v[2] – 2v[3], u[3] = v[1] – v[3]

b) v[1] = u[1] + u[2] + u[3], v[2] = u[2] + u[3], v[3] = u[3]

tip: začněte vyjádřením x = …

                                                                           [(5,-1,5)^T; (1,-4,5)^T]


3. Najděte předpis lineárního zobrazení f: R^2 -> R^3, které má v bázích α  = [ (1,-1)^T, (1,1)^T
],  β  = [ (1,1,1)^T, (1,1,0)^T, (1,0,0)^T ] matici             / 1  0  \

                                                                 (f)[βα] = | -1  2  |

                                                                             \ 3 –1 /

tip: předpis získejte pomocí matice (f)[εε]


4. Ve vektorovém prostoru R[3][x] jsou dány báze α  = (1,x,x^2,x^3), β  =
(1+x^2,1-x^2,x+x^3,x-x^3). Najděte matice přechodu od báze α k bázi β i od báze β k bázi α.