Vektorové prostory II - ddú



1. Zjistěte, zda jsou následující množiny vektorové prostory:

a) V = {(x,y,z): x, y, z Î R} s operacemi (x,y,z)⊕(x^|,y^|,z^|) = (x+x^|,y+y^|,z+z^|), k⊙(x,y,z)  =
(kx,y,z), k Î R

a) V = {(x,y): x, y Î R} s operacemi (x,y)⊕(x^|,y^|) = (x+x^|+1,y+y^|+1), k⊙(x,y)  = (kx,ky), kÎR

                                                                                          [ano; ne]


2. Zjistěte, zda daná podmnožina tvoří vektorový podprostor v R^2 (s obvyklými operacemi sčítání a
násobení skalárem):

a) M = {(x,y) Î R^2, x.y ≥ 0}

b) M = {(x,y) Î R^2, x = y + 1}

                                                                                           [ne; ne]


3. Který z vektorů u[1], u[2], u[3], u[4] doplňuje množinu α na bázi prostoru R^4?

a) α  = [ (1,-2,1,-1)^ T, (1,0,-1,-1)^ T, (1,1,-2,0)^ T ]

u[1] = (-1,2,-1,1)^ T, u[2] = (3,-1,-2,-1)^ T, u[3] = (2,1,0,-2)^ T, u[4] = (2,1,-3,-2)^ T

b) α  = [ (1,3,0,-1)^ T, (1,0,0,-1)^ T, (0,2,1,0)^ T ]

u[1] = (-1,1,-1,1)^ T, u[2] = (3,-1,0,-3)^ T, u[3] = (2,1,0,-2)^ T, u[4] = (1,-2,0,-1)^ T

                                                                                      [u[3]; žáden]


4. Nalezněte souřsdnice vektoru v v bázi α vektorového prostoru V:

a) v = (2,1,1)^ T, α  = [ (2,7,3)^ T, (3,9,4)^ T, (1,5,3)^ T ], V = R^3

b) v = (2,1,1)^ T, α  = [ (1,0,1)^ T, (1,0,0)^ T, (1,1,1)^ T ], V = R^3

c) v = (0,0,2,7)^ T, α  = [ (4,2,-1,-6)^ T, (3,1,1,-2)^ T, (1,2,1,1)^ T, (2,3,1,0)^ T], V = R^4

d) v = (1,1,1,1)^ T, α  = [ (0,0,0,-5)^ T, (1,2,3,1)^ T, (1,0,-1,0)^ T, (0,1,1,0)^ T], V = R^4

e) v = 4 – 4x – 2x^2, α  = (1 – x^2, 1 + x, 1 – x), V = R[2][x] (polynomy st 2 nad R)

f) v = x^3 + x^2 + x + 1, α  = (1 + x^3, x + x^3, x^2 + x^3, x^3), V = R[3][x]

g) v = / 6 2 \ , α = / / 1 0 \ , / 0 1 \ , /1 1 \ , / 1 0 \ \ , V = Mat[2](R)

          \ 1 3 /          \ \ 1 0 /   \ 0 0 /   \ 0 0 /  \ 0 1 / /


5. Zjistěte, zda je zobrazení f: R^n -> R^n lineární. Pokud ano, najděte Ker f a Im f.

a) f (x,y) = (x, y^2)

b) f (x,y) = (2x + 3y, x - y)

c) f (x,y) = (x, 1 - y)

d) f (x,y,z) = ((x+y)^2, x – y, x + y + z)

                                                         [ne; ano: Ker f = {0}, Im f = R^2; ne; ne]


6. Nechť α a β jsou báze v R^3. Najděte matici přechodu od báze α k bázi β a pomocí ní určete
souřadnice vektoru w = (-5,8,-5) v bázi β:

a) α  = [ (-3,0,-3)^ T, (-3,2,-1)^ T, (1,6,-1)^ T ], β  = [ (-6,-6,0)^ T, (-2,-6,4)^ T, (-2,-3,7)^
T ]

b) α  = [ (2,1,1)^ T, (2,-1,1)^ T, (1,2,1)^ T ], β  = [ (3.1,-5)^ T, (1,1,-3)^ T, (-1,0,2)^ T ]


7. Ve vektorovém prostoru R[3][x] jsou dány báze α = (1,x,x^2,x^3) a β = (1+x, 1–x, x^2+x^3,
x^2-x^3). Najděte matici přechodu od báze α k bázi β a matici přechodu od báze β k bázi α.