Vektorové prostory I - ddú



1. Zjistěte, zda množina V = { (x,y) : x, y Î R} s operacemi (x,y) ⊕ (x^|,y^|) = (x+x^|,y+y^|),
k⊙(x,y)  = (2kx,2ky), k Î R tvoří  vektorový prostor.

                                                                                               [ne]


2. Zjistěte, zda V = Mat[2x3] s operacemi sčítání matic a násobení matice skalárem tvoří vektorový
prostor.

                                                                                              [ano]


3. Rozhodněte, zda následující množiny s operacemi sčítání matic a násobení matice skalárem tvoří
vektorový prostor:

a) čtvercové matice řádu n

b) symetrické matice řádu n

c) invertibilní (tj, regulární) matice řádu n

d) antisymetrické matice řádu n

                                                                                [ano, ano, ne, ano]


4. Rozhodněte, zda polynomy nad reálnými čísly stupně nejvýše k tvoří vektorový prostor.

                                                                                              [ano]


5. Rozhodněte, zda následující množiny jsou vektorové podprostory vektorového prostoru R^2:

a) přímka x = y

b) přímka y = x + 1

c) první kvadrant (včetně hraničních přímek)

tip: Množiny si nejprve přepište do tvaru M = { (x,y) : ... }.

                                                                                      [ano, ne, ne]


6. Napište nějakou bázi vektorových prostorů:

a) R^3^

b) Mat[2x2]

c) P[2] (polynomy stupně nejvýše 2)


7. Tvoří vektory (1,1,1)^T, (1,2,0)^ T a (1,3,1)^ T bázi R^3?

                                                                                              [ano]


8. Uvažujme komplexní čísla jako vektorový prostor nad reálnými čísly („nad reálnými čísly“
znamená, že skaláry berem z reálných čísel) s operacemi sčítání komplexních čísel a násobení
komplexního čísla skalárem. Ukažte, že čísla 1+i a 1-i tvoří bázi tohoto prostoru a napište
souřadnice čísla 5-2i v této bázi.

                                                                                         [3/2, 7/2]


9. Určete souřadnice vektoru v = (2,3,1)^ T v bázi α = ( (1,1,1)^ T, (1,2,0)^ T, (1,3,1)^ T ).

                                                                                         [(2,3,-1)]


10. Najděte bázi  a dimenzi součtu a průniku vektorových podprostorů P[1, ]P[2]:

a) P[1] = [ (1,2,-1)^ T, (-1,0,2)^ T, (2,-1,0)^ T, (1,1,1)^ T ][, ]P[2] = [ (0,2,1)^ T, (1,4,0)^ T
]

b) P[1] = [ (1,-1,0,1)^ T, (1,2,0,3)^ T, (3,0,0,5)^ T ][, ]P[2] = [ (0,-1,1,4)^ T, (0,2,3,2)^ T,
(0,0,1,2)^ T ]