MB101\ 10 ­ I. zápočtová písemka
skupina C
Na vypracování písemky máte 50 minut. Vždy si pořádně přečtěte zadání příkladu!
Svůj postup řádně komentujte. Neopisujte!
1. Kolik je sedmiciferných čísel takových, že jsou dělitelné 20, žádné 2 cifry se
v jejich zápisu nevyskytují dvakrát a jejich první cifrou je buď jednička, nebo
dvojka? (3 body)
2. Kolik řešení má rovnice x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 17
a) v N0 = {0, 1, 2, . . .}, (2 body)
b) v N = {1, 2, 3, . . .}? (2 body)
3. Střelec vystřelí na terč 5 ran z pistole. Při každém výstřelu má pravděpodobnost
zásahu 3
5
a jednotlivé výstřely jsou na sobě nezávislé. Určete pravděpodobnost:
a) že se alespoň jednou trefí, (2 body)
b) že se trefil prvními 4 ranami a pátou ranou minul, jestliže víme, že se alespoň
jednou trefil. (2 body)
4. Střílíme z luku na terč o poloměru 80cm. Všechny body terče mají stejnou
pravděpodobnost zásahu a terč trefíme jistě. Jaká je pravděpodobnost, že se
trefíme do bodu, který je od středu i od okraje terče vzdálen alespoň 10cm?
(3 body)
5. Pomocí determinantu vypočtěte obsah trojúhelníku určeného body [0, 1], [-3, -5],
[2, -2]. (2 body)
6. Na množině všech celých čísel Z máme definovánu relaci  předpisem
a  b  a  b a zároveň a  b  0.
Rozhodněte a dokažte, zda je tato relace reflexivní, symetrická, tranzitivní či
antisymetrická. (Tzn. je-li vaše odpověď pro danou vlastnost ano, uveďte důkaz,
v opačném případě uveďte protipříklad.) (4 body)
MB101\ 10 ­ I. zápočtová písemka
skupina D
Na vypracování písemky máte 50 minut. Vždy si pořádně přečtěte zadání příkladu!
Svůj postup řádně komentujte. Neopisujte!
1. Kolika způsoby lze mezi 9 lidí rozdělit 6 jablek a 3 hrušky, jestliže každý musí
dostat 1 kus ovoce? (3 body)
2. Kolika způsoby lze do 3 různých obálek rozdělit 14 padesátikorunových bankovek,
jestliže:
a) na rozdělení neklademe žádné omezení, (2 body)
b) v každé obálce musí být alespoň 100 korun? (2 body)
3. Hráč si šestkrát po sobě si zahraje skořápky, v každé hře má pravděpodobnost
výhry 1
3
a jednotlivé hry jsou na sobě nezávislé. Určete pravděpodobnost:
a) že alespoň jednou vyhraje, (2 body)
b) že v první a poslední hře vyhrál a v ostatních prohrál, jestliže víme, že
alespoň jednu hru vyhrál. (2 body)
4. Nechť (x, y)  [0, 2] × [0, 2] je náhodně vybraná dvojice čísel ze čtverce v rovině
určeného body [0, 0], [2, 0], [2, 2], [0, 2]. Určete pravděpodobnost, že tato dvojice
čísel splňuje nerovnici y  |x - 1| + 1. (3 body)
5. Pomocí determinantu vypočtěte obsah trojúhelníku určeného body [-1, 0], [4, 1],
[5, -3]. (2 body)
6. Na množině všech přirozených čísel N máme definovánu relaci  předpisem
a  b  a + b je sudé číslo.
Rozhodněte a dokažte, zda je tato relace reflexivní, symetrická, tranzitivní či
antisymetrická. (Tzn. je-li vaše odpověď pro danou vlastnost ano, uveďte důkaz,
v opačném případě uveďte protipříklad.) (4 body)