MB101\ 10 ­ III. zápočtová písemka
skupina C
Na vypracování písemky máte 50 minut. Vždy si pořádně přečtěte zadání příkladu!
Svůj postup řádně komentujte. Neopisujte!
1. V prostoru Mat2×2(R) všech matic typu 2 × 2 nad reálnými čísly uvažme podmnožinu
M = {
a b
c d
| a, b, c, d  R, a˙b  0}. Rozhodněte a dokažte, zda M
je podprostorem Mat2×2(R). (4 body)
2. V prostoru R3[x] polynomů nejvýše 3. stupně s reálnými koeficienty najděte
nějakou bázi a určete dimenzi podprostoru
Span < 2x3
+2x2
+3x+1, 2x3
+x2
+x, 2x3
-x-1, -2x3
-4x2
-7x-3, 6x3
+5x2
+7x+2.-6x3
-x2
+x+2 > .
Ve vámi vybrané bázi pak určete souřadnice polunomu 6x3
+x2
-x-2.(4 body)
3. Mějme dáno lineární zobrazení f : R4
 R3
předpisem
f(a, b, c, d) = (3a - b, 2a + b + 2c, -b - d).
Určete matici tohoto zobrazení ve standardních bazích a najděte nějakou bázi
prostorů Ker(f) a Im(f). (4 body)
4. V prostoru R3[x] máme báze  = [1, x + 1, x2
+ x + 1, x3
+ x2
+ x + 1] a
 = [x3
-x2
+1, x3
-x2
-x+2, 2x3
-x2
, x2
+x-1]. Určete matici přechodu od
báze  k bázi  a pomocí ní spočtěte souřadnice polynomu p v bázi , jestliže
souřadnice polynomu p v bázi  jsou (1, 1, 0, -1)T
. (4 body)
5. V R5
najděte nějakou bázi ortogonálního doplňku podprostoru
W = Span < (2, 0, 1, -2, 1), (1, -1, 2, 1, 0), (2, -1, 1, -3, 2) > .
(4 body)
MB101\ 10 ­ III. zápočtová písemka
skupina D
Na vypracování písemky máte 50 minut. Vždy si pořádně přečtěte zadání příkladu!
Svůj postup řádně komentujte. Neopisujte!
1. V prostoru Mat2×2(R) všech matic typu 2 × 2 nad reálnými čísly uvažme podmnožinu
M = {
a b
c d
| a, b, c, d  R, a + b = c - 2d}. Rozhodněte a dokažte,
zda M je podprostorem Mat2×2(R). (4 body)
2. Doplňte množinu {3x2
+ x, x3
- x2
- 2x + 1} na nějakou bázi prostoru R3[x]
prostoru všech polynomů stupně nejvýše 3 s reálnými koeficienty. (4 body)
3. Mějme dáno lineární zobrazení f : R4
 R3
předpisem
f(a, b, c, d) = (a + b - c - d, 2a + 2c, a + d).
Určete matici tohoto zobrazení ve standardních bazích a najděte nějakou bázi
prostorů Ker(f) a Im(f). (4 body)
4. V prostoru R3[x] máme báze  = [x2
+ 1, x3
+ 1, x + 1, x3
+ x2
+ x + 1] a
 = [-2x3
- x + 1, x3
- x2
+ 2, 2x3
+ x2
- x, 5x3
+ x2
]. Určete matici přechodu
od báze  k bázi  a pomocí ní spočtěte souřadnice matice A v bázi , jestliže
souřadnice matice A v bázi  jsou (0, 2, -1, 3)T
. (4 body)
5. V R5
najděte nějakou bázi ortogonálního doplňku podprostoru
W = Span < (2, 1, 0, 0, 1), (3, 0, 1, 1, -1), (0, -1, 2, 1, -1) > .
(4 body)