MB101\ 10 ­ IV. zápočtová písemka
skupina C
Na vypracování písemky máte 50 minut. Vždy si pořádně přečtěte zadání příkladu!
Svůj postup řádně komentujte. Neopisujte!
1. Pomocí Grammova­Schmidtova procesu nalezněte nějakou ortonormální bázi
podprostoru
W = Span (1, -1, 0, -1), (2, -1, 0, 0), (0, -1, -1, -1) .
Pomocí nalezené báze pak vypočítejte kolmou projekci vektoru u = (2, 1, -1, -2)
na podprostor W. (10 bodů)
2. Nalezněte vlastní čísla matice A a najděte nějaké báze příslušných vlastních
prostorů. Ke každému vlastnímu číslu určete jeho algebraickou a geometrickou
násobnost. Určete, zda je matice A podobná nějaké diagonální matici D, tj. zda
existuje regulární matice P tak, že A = PDP-1
. Pokud ano, určete matice D
a P (matici P-1
nemusíte počítat).
A =


-1 -3 -3
3 5 3
-1 -1 1


(10 bodů)
MB101\ 10 ­ IV. zápočtová písemka
skupina D
Na vypracování písemky máte 50 minut. Vždy si pořádně přečtěte zadání příkladu!
Svůj postup řádně komentujte. Neopisujte!
1. Pomocí Grammova­Schmidtova procesu nalezněte nějakou ortonormální bázi
podprostoru
W = Span (0, -1, 0, 1), (2, 0, 1, -1), (1, 1, 1, -1) .
Pomocí nalezené báze pak vypočítejte kolmou projekci vektoru u = (0, 1, 1, 1)
na podprostor W. (10 bodů)
2. Nalezněte vlastní čísla matice A a najděte nějaké báze příslušných vlastních
prostorů. Ke každému vlastnímu číslu určete jeho algebraickou a geometrickou
násobnost. Určete, zda je matice A podobná nějaké diagonální matici D, tj. zda
existuje regulární matice P tak, že A = PDP-1
. Pokud ano, určete matice D
a P (matici P-1
nemusíte počítat).
A =


1 0 -1
-3 -1 -3
1 0 3


(10 bodů)