MB101\ 10 ­ doplňující písemka
1. Rozhodněte a dokažte, zda je následující relace na množině všech celých čísel
Z reflexivní, symetrická, tranzitivní či antisymetrická:
a  b  (a  b a zároveň a  b  0).
2. Spočtěte determinant matice A:
A =




1 -2 3 1
5 -9 6 3
-1 2 -6 -2
2 8 6 1




3. Mějme dáno lineární zobrazení f : R3
 R2
předpisem:
f(x1, x2, x3) = (x1 + 2x2 - 3x3, 2x1).
V R3
máme bázi  = [(1, 2, 0), (-2, 1, 0), (3, 1, -1)], v R2
pak máme bázi  =
[(2, 1), (0, 2)]. Určete matici zobrazení f ve standardních bazích a pomocí ní
vypočtěte Ker(f) (tzn. najděte nějakou jeho bázi). Poté určete matici zobrazení
f v bazích , .
4. Nalezněte vlastní čísla matice A, určete jejich algebraickou a geometrickou násobnost
a najděte nějaké báze příslušných vlastních prostorů. Zjistěte, zda je
matice A podobná nějaké diagonální matici. Pokud ano, určete matici P takovou,
že A = PDP-1
, kde D je ona diagonální matice.
A =


1 -1 -1
-1 1 -1
1 1 3


(Každý příklad je za 5 bodů.)
MB101\ 10 ­ doplňující písemka
1. Rozhodněte a dokažte, zda je následující relace na množině všech celých čísel
Z reflexivní, symetrická, tranzitivní či antisymetrická:
a  b  (a  b a zároveň a  b  0).
2. Spočtěte determinant matice A:
A =




1 -2 3 1
5 -9 6 3
-1 2 -6 -2
2 8 6 1




3. Mějme dáno lineární zobrazení f : R3
 R2
předpisem:
f(x1, x2, x3) = (x1 + 2x2 - 3x3, 2x1).
V R3
máme bázi  = [(1, 2, 0), (-2, 1, 0), (3, 1, -1)], v R2
pak máme bázi  =
[(2, 1), (0, 2)]. Určete matici zobrazení f ve standardních bazích a pomocí ní
vypočtěte Ker(f) (tzn. najděte nějakou jeho bázi). Poté určete matici zobrazení
f v bazích , .
4. Nalezněte vlastní čísla matice A, určete jejich algebraickou a geometrickou násobnost
a najděte nějaké báze příslušných vlastních prostorů. Zjistěte, zda je
matice A podobná nějaké diagonální matici. Pokud ano, určete matici P takovou,
že A = PDP-1
, kde D je ona diagonální matice.
A =


1 -1 -1
-1 1 -1
1 1 3


(Každý příklad je za 5 bodů.)