MB101 ­ dobrovolné domácí úkoly
Vl. čísla, vl. vektory, výpočet kolmé projekce
1. Pomocí Grammova-Schmidtova ortogonalizačního procesu najděte ortonormální
bázi prostoru
V = Span (1, 1, 1, 1), (1, 2, 1, 0), (1, 1, 2, 3), (0, 1, 0, 0) .
2. Vypočítejte kolmou projekci vektoru (3, 1) na prostor Span (1, 0) .
3. Vypočítejte kolmou projekci vektoru (1, -1, 2, 1) na prostor
V = Span (1, 2, 1, 0), (-1, 0, 1, 0), (1, -1, 1, 0) .
4. Nalezněte vlastní čísla matice A, určete jejich algebraickou a geometrickou
násobnost a najděte nějaké báze příslušných vlastních prostorů. Zjistěte,
zda je matice A podobná nějaké diagonální matici. Pokud ano, určete
matici P takovou, že A = PDP-1
, kde D je ona diagonální matice.
A =


1 -1 1
-1 1 1
-1 -1 3


5. Nalezněte vlastní čísla matice A, určete jejich algebraickou a geometrickou
násobnost a najděte nějaké báze příslušných vlastních prostorů.
A =




2 0 2 0
1 2 2 -2
0 0 2 0
0 0 1 2




0.0.1 Výsledky
1. [1
2 (1, 1, 1, 1), 1
2
(0, 1, 0, -1), 1
12
(-3, 1, 1, 1), 1
6
(0, 1, -2, 1)] 2. (3,0) 3. (1,-1,2,0)
4. Matice má vlastní číslo 1 algebraické a geometrické násobnosti 1 a vlastní
číslo 2 algebraické a geometrické násobnosti 2. Platí například: Eigen(1) =
Span (1, 1, 1) a Eigen(2) = Span (1, 0, 1), (-1, 1, 0) . Pokud za matici P vezmeme
například matici tvořenou bázovými vektory těchto vlastních prostorů
(v uvedeném pořadí), pak získáváme diagonální matici D, která má na diagonále
hodnoty 1,2,2 (v tomto pořadí). 5. Matice má jediné vlastní číslo 2 algebraické
násobnosti 4 a geometrické násobnosti 2. Eigen(2) = Span (2, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 0) .
1