MB101\ 11 ­ III. zápočtová písemka
skupina A
Na vypracování písemky máte 50 minut. Vždy si pořádně přečtěte zadání příkladu!
Svůj postup řádně komentujte. Neopisujte!
1. V prostoru Mat2×2(R) všech matic typu 2 × 2 nad reálnými čísly uvažme podmnožinu
M = {
a b
0 c
| a, b, c  Z}. Rozhodněte a dokažte, zda M je podprostorem
Mat2×2(R). (4 body)
2. V prostoru R3[x] polynomů nejvýše 3. stupně s reálnými koeficienty najděte
nějakou bázi a určete dimenzi podprostoru
Span < 3x3
+x+2, 3x2
+2x+1, -x3
+2x2
+3x+1, x3
+x2
+5x+3, -2x3
+4x2
-1, -5x3
+x2
+3x-1 > .
(4 body)
3. Mějme dáno lineární zobrazení f : R4
 R3
předpisem
f(a, b, c, d) = (a + b, 3c + 2d, -b - c - d).
Určete matici tohoto zobrazení ve standardních bazích a najděte nějakou bázi
prostorů Ker(f) a Im(f). (4 body)
4. V prostoru Mat2×2(R) máme báze  = [
1 0
0 0
,
1 1
0 0
,
1 1
1 0
,
1 1
1 1
]
a  = [
1 0
-1 1
,
2 -1
-1 1
,
0 0
1 2
,
-1 1
1 0
]. Určete matici přechodu od
báze  k bázi  a pomocí ní spočtěte souřadnice matice A v bázi , jestliže
souřadnice matice A v bázi  jsou (-1, 0, 2, 1)T
. (4 body)
5. V R5
najděte nějakou bázi ortogonálního doplňku podprostoru
W = Span < (2, 1, 1, 3, 2), (1, 2, 1, 3, 1), (-1, 2, -1, 0, -2) > .
(4 body)
MB101\ 11 ­ III. zápočtová písemka
skupina B
Na vypracování písemky máte 50 minut. Vždy si pořádně přečtěte zadání příkladu!
Svůj postup řádně komentujte. Neopisujte!
1. V prostoru Mat2×2(R) všech matic typu 2 × 2 nad reálnými čísly uvažme podmnožinu
M = {
a b
c 0
| a, b, c  R, 2a + b = 0 a zároveň b = c}. Rozhodněte a
dokažte, zda M je podprostorem Mat2×2(R). (4 body)
2. Doplňte množinu {x3
+ 2x2
+ x, x3
+ 2x + 4} na nějakou bázi prostoru R3[x]
všech polynomů nejvýše 3. stupně s reálnými koeficienty. (4 body)
3. Mějme dáno lineární zobrazení f : R4
 R3
předpisem
f(a, b, c, d) = (2a + b - c, b + 3c, a - 2d).
Určete matici tohoto zobrazení ve standardních bazích a najděte nějakou bázi
prostorů Ker(f) a Im(f). (4 body)
4. V prostoru Mat2×2(R) máme báze  = [
1 0
1 0
,
1 0
0 1
,
1 1
0 0
,
1 1
1 1
] a
 = [
1 -1
0 -2
,
2 0
-1 1
,
0 -1
1 2
,
0 0
1 5
]. Určete matici přechodu od báze
 k bázi  a pomocí ní spočtěte souřadnice matice A v bázi , jestliže souřadnice
matice A v bázi  jsou (1, -2, 0, -1)T
. (4 body)
5. V R5
najděte nějakou bázi ortogonálního doplňku podprostoru
W = Span < (1, -2, 1, 0, 2), (2, -1, 1, -2, 1), (-3, 3, 1, 4, -1) > .
(4 body)