MB101\ 11 ­ doplňující písemka
1. Na první míse je 12 tvarohových koláčů a 8 ořechových koláčů. Na druhé míse je
13 tvarohových koláčů a 12 ořechových koláčů. Hostitelka náhodně vezme jednu
mísu, postaví ji před Vás a vybídne Vás, abyste ochutnali. Pohledem nepoznáte,
jakou náplň má který koláč. Určete pravděpodobnost, že první koláč, který
ochutnáte, bude ořechový.
2. Je dána matice A. Vypočtěte její adjungovanou matici A
a pomocí ní pak
vypočtěte inverzní matici A-1
k matici A.
A =


2 1 1
-2 2 3
2 2 1


3. Ve vektorovém prostoru R3[x] polynomů nejvýše třetího stupně s reálnými koeficienty
máme báze
 = [1, x, x2
, x3
]
a
 = [1 + x, 1 - x, x2
+ x3
, x2
- x3
].
Určete matice přechodu od báze  k bázi  a od báze  k bázi .
4. Nalezněte vlastní čísla matice A, určete jejich algebraickou a geometrickou násobnost
a najděte nějaké báze příslušných vlastních prostorů. Zjistěte, zda je
matice A podobná nějaké diagonální matici. Pokud ano, určete matici P takovou,
že A = PDP-1
, kde D je ona diagonální matice.
A =


1 -1 1
-1 1 1
-1 -1 3


(Každý příklad je za 5 bodů.)
MB101\ 11 ­ doplňující písemka
1. Na první míse je 12 tvarohových koláčů a 8 ořechových koláčů. Na druhé míse je
13 tvarohových koláčů a 12 ořechových koláčů. Hostitelka náhodně vezme jednu
mísu, postaví ji před Vás a vybídne Vás, abyste ochutnali. Pohledem nepoznáte,
jakou náplň má který koláč. Určete pravděpodobnost, že první koláč, který
ochutnáte, bude ořechový.
2. Je dána matice A. Vypočtěte její adjungovanou matici A
a pomocí ní pak
vypočtěte inverzní matici A-1
k matici A.
A =


2 1 1
-2 2 3
2 2 1


3. Ve vektorovém prostoru R3[x] polynomů nejvýše třetího stupně s reálnými koeficienty
máme báze
 = [1, x, x2
, x3
]
a
 = [1 + x, 1 - x, x2
+ x3
, x2
- x3
].
Určete matice přechodu od báze  k bázi  a od báze  k bázi .
4. Nalezněte vlastní čísla matice A, určete jejich algebraickou a geometrickou násobnost
a najděte nějaké báze příslušných vlastních prostorů. Zjistěte, zda je
matice A podobná nějaké diagonální matici. Pokud ano, určete matici P takovou,
že A = PDP-1
, kde D je ona diagonální matice.
A =


1 -1 1
-1 1 1
-1 -1 3


(Každý příklad je za 5 bodů.)