Matice
* Matice typu m × n má m řádků a n sloupců. Označují se velkými tiskacími písmeny, např.
A.
* Operace s maticemi stejného typu ­ sčítání (po složkách): A = (aij); B = (bjk); A  B =
(aij  bij). Násobení skalárem c z reálných čísel cA = (caij). Násobení matic A typu m × n
s maticí B typu n × p je A  B =
n
j=1 aijbjk typu m × p. Násobení není komutativní (ani
pro čtvercové matice), B  A není definované.
A =


1 2
3 4
5 6

 B =
7 8 9
10 11 12
A  B =


1  7 + 2  10 1  8 + 2  11 1  9 + 2  12
3  7 + 4  10 3  8 + 4  11 3  9 + 4  12
5  7 + 6  10 5  8 + 6  11 5  9 + 6  12

 .
Pro čtvercové matice mocnina: An
= An-1
 A; A0
= E, je komutativní.
* Čtvercová matice typu n × n. Pojmy: Nulová matice O; A + O = O + A = A, jednotková
matice, zn. I nebo E; E  A = A  E = A, horní a dolní trojúhelníková matice - uzavřené na
součiny a součty, diagonální, transponovaná, symetrická matice.
* Inverzní matice k matici A je matice A-1
, platí AA-1
= A-1
A = E. Je určena jednoznačně,
pokud existuje. Matice, které mají inverzi jsou regulární. (A-1
)-1
= A, součin regulárních
matic je regulární, (AB)-1
= B-1
A-1
(pořadí!).
* Hodnost matice A je její maximální počet lineárně nezávislých řádků. Zn. h(A).
* Hledání inverzní matice: matici (A|E) řádkovými úpravami upravíme na tvar (E|), kde
 = A-1
.
* Soustavu lineárních rovnic můžeme zapsat jako A  x = b. Pak řešení je tvaru: x = A-1
 b,
matice A musí být regulární a je právě jedno řešení.
* Frobeniova věta: Systém lineárních rovnic (LS) má (alespoň jedno) řešení právě tehdy, když
h(A) = h(A|b).
* Myslím že toto nepatří na cvičení, ale když budete chtít: řádkové úpravy matice lze reprezentovat
jako zleva součin vhodných regulárních matic.
1
Determinaty
* Minor příslušející prvku aij označme jako |Mij|. Vznikne z matice vynecháme i­tého řádeku
a j­tého sloupece. Výraz nazveme Aij := (-1)i+j
|Mij| jako algebraický doplněk příslušející
prvku aij.
* Determinat je reálný číslo. Determinat lze definovat Laplaceovým rozvojem podle prvního
řádku:
det A = |A| =
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
... ... ... ...
an1 an2 ... ann
:=
a11, pokud n = 1,
a11 A11 + a12 A12 + ... + a1n A1n, pokud n > 1.
Takže jde o rekurentní definici.
* Laplaceův rozvoj lze použít na libovolný řádek nebo sloupec.
* Výpočet determinantu řádu 2 přímo a řádu 3 Saarusovým pravidlem - dopíšou se první dva
sloupce na konec matice a sčítají se 3 součiny prvků na hlavních diagonálách a odčítají 3
součiny prvků na vedlejších diagonálách.
* Vlastnosti determinantu:
|A| = |AT
|
|AB| = |A|  |B|
|A-1
| = 1/|A|
Je-li A horní(dolní) troj. matice, pak determinant je součin prvků na diagonále.
* Úpravy determinantu řádkovými úpravami: záměna 2 řádků změní znamínko determinantu,
vynásobení řádku číslem způsobí vynásobení determinantu stejným číslem. Přičtení a­násobku
některého řádku (sloupce) determinantu k jinému řádku (sloupci) nemění hodnotu determi-
nantu.
* Singulární matice je ta, co má nulový determinant, regulární matice má nenulový determinat
* Adjungovaná matice
A
:= (Aji) =




A11 A12 ... A1n
A21 A22 ... A2n
... ... ... ...
An1 An2 ... Ann




T
.
Matice adjungovaná k matici A se tedy vytvoří tak, že místo každého prvku aij napíšeme
jeho algebraický doplněk Aij a nakonec celou takto vznikou matici transponujeme.
* Je-li A reg. matice pak
A-1
=
A
|A|
.
* Kramerovo pravidlo: Systém lineárních rovnic Ax = b, A je reg. Označme Ai matici, kterou
získáme z matice A záměnou jejího i­tého sloupce za sloupec pravých stran b. Potom (jediné)
řešení x = (x1, ..., xn) tohoto systému je dáno vztahem
xi =
|Ai|
|A|
, i = 1, ..., n.
2