3. Skalární součin 25
3. SKALÁRNÍ SOUČIN
Teorie
3.1. Definice. Nechť V je vektorový prostor nad polem K. Pak skalární součin na V je
bilineární symetrická forma, tj. zobrazení , : V × V  K takové, že x, x > 0
pro x  V , x = o. (To znamená, že příslušná kvadratická forma je pozitivně definitní.)
Reálný vektorový prostor se skalárním součinem nazýváme euklidovský prostor.
3.2. Definice. Nechť Rn
je vektorový prostor. Definujeme skalární součin pro x, y  Rn
,
x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) jako x, y = n
i=1 xiyi. Takto definovaný skalární
součin nazýváme standardní skalární součin.
Euklidovský vektorový prostor Rn
se standardním skalárním součinem budeme značit En.
3.3. Definice. Velikost (norma) vektoru v v euklidovském prostoru V je číslo v =
v, v .
3.4. Věta. (Cauchyova-Schwartzova nerovnost) Pro každé dva vektory v euklidovském
prostoru V platí
| u, v |  u v
.
3.5. Definice. Nechť V je euklidovský prostor, u, v  V . Úhel, který vektory u a v svírají
je číslo   0,  takové, že
cos  =
u, v
u v
.
3.6. Definice. Dva vektory u, v  V , kde V je euklidovský prostor, nazveme kolmé (ortogonální),
pokud u, v = 0.
Dva vektory u, v  V , nazveme ortonormální, pokud jsou ortogonální (tj. u, v = 0) a
pokud jejich velikost je rovna jedné (tj. u = 1  v = 1).
3.7. Věta. Nechť V je euklidovský prostor a v1, v2, . . . , vk  V jsou po dvou ortogonální
vektory různé od nulového. Pak jsou tyto vektory lineárně nezávislé.
3.8. Definice. Bázi tvořenou ortogonálními vektory nazveme ortogonální báze. Bázi tvořenou
ortonormálními vektory nazveme ortonormální báze.
3.9. Věta. Nechť V je euklidovský prostor a u1, u2, . . ., uk  V libovolné vektory. Pak
existují ortogonální vektory v1, v2, . . . , vk  V , které generují tentýž prostor jako vektory
u1, u2, . . ., uk, to znamená
[u1, u2, . . . , uk] = [v1, v2, . . . , vk] .
26 I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
Algoritnus, s jehož pomocí lze nalézt vektory v1, v2, . . . , vk se nazývá Grammův-Schmidtův
ortogonalizační proces a je popsán v úloze 1.
3.10. Definice. Řekneme, že množiny A, B  V jsou ortogonální množiny (ozn. A  B)
jestliže
u  A, v  B : u, v = 0
.
3.11. Definice. Ortogonální doplňek množiny A v euklidovském vektorovém prostoru V
nazveme množinu
A
= {u  V : u, v = 0, v  A}
.
3.12. Definice. Nechť V je euklidovský prostor a U  V je vektorový podprostor ve V .
Kolmá projekce vektoru v  V do U je vektor Pv  U takový, že v - Pv  U.
3.13. Věta. Nechť V je euklidovský prostor a U  V je podprostor. Potom U U
= V .
Řešené příklady
Úloha 1: Použijte Grammův-Schmidtův ortogonalizační proces na bázi  : u1 =
(2, 0, -1)T
, u2 = (-1, 1, 1)T
, u3 = (1, 1, 1)T
vektorového prostoru E3.
Řešení: Budeme hledat ortogonální bázi  : [v1, v2, v3]
1) Za v1 zvolíme libovolně jeden ze tří vektorů původní báze  , např.
v1 = u1
a tedy
v1 = (2, 0, -1)T
2) Hledáme druhý vektor báze v2 ve tvaru
v2 = u2 + p1v1
tuto rovnost skalárně vynásobíme vektorem v1
v1, v2 = v1, u2 + p1 v1, v1
požadujeme, aby vektory v1, v2 byly kolmé, proto skalární součin v1, v2 = 0; zbylé skalární
součiny můžeme už lehce spočítat v1, u2 = -3, v1, v1 = 5, pak
0 = -3 + 5p1 z toho plyne p1 =
3
5
3. Skalární součin 27
a tedy
v2 = (-1, 1, 1)T
+
3
5
(2, 0, -1)T
v0
2 =
1
5
, 1,
2
5
T
můžeme do báze zvolit libovolný násobek tohoto vektoru, pro snadnější počítání tedy volme
v2 = (1, 5, 2)T
3) Nyní zbývá najít ještě třetí vektor báze v3, který musí být kolmý k oběma předchozím
vektorům v1 a v2; předpokládejme jej ve tvaru
v3 = u3 + q1v1 + q2v2
tuto rovnost nejdříve skalárně vynásobíme vektorem v1 a pak vektorem v2, čímž dostáváme
soustavu dvou rovnic o dvou neznámých q1 a q2
v3, v1 = u3, v1 + q1 v1, v1 + q2 v2, v1
v3, v2 = u3, v2 + q1 v1, v2 + q2 v2, v2
z požadavku vzájemné ortogonality všech vektorů báze  plyne
0 = 1 + 5q1 z toho plyne q1 = -
1
5
0 = 8 + 30q2 z toho plyne q2 = -
4
15
tedy
v0
3 = (1, 1, 1)T
-
1
5
(2, 0, -1)T
-
4
15
(1, 5, 2)T
=
1
3
, -
1
3
,
2
3
T
opět můžeme do báze  zvolit libovolný násobek tohoto vektoru, např.
v3 = (1, -1, 2)T
a tedy  = [(2, 0, -1)T
, (1, 5, 2)T
, (1, -1, 2)T
]
Úloha 2: Nechť W = [(1, -1, 1, 0, 0)T
, (1, 0, 1, 0, 1)T
, (1, 1, 0, -1, 1)T
] je podprostor
v E5. Najděte ortogonální doplňek W 
tohoto podprostoru.
Řešení: Podle definice 3.10. je ortogonální doplněk podprostoru množina všech vektorů
kolmých ke všem vektorům zadaného podprostoru. Rozmyslíme-li si tuto definici, je zřejmé,
že stačí hledat množinu všech vektorů kolmých k vektorům báze podprostoru W. Označíme
28 I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
si vektory báze postupně v1, v2, v3 a uvažujeme libovolný vektor x = (x1, x2, x3, x4, x5)T
takový, že x  W
, pak platí:
x  W
právě když x  v1  x  v2  x  v3
a tedy
x  W
právě když x, v1 = 0; x, v2 = 0; x, v3 = 0
z toho plyne
x1 -x2 +x3 = 0
x1 +x3 +x5 = 0
x1 +x2 -x4 +x5 = 0
dále řešíme tuto soustavu rovnic pro nalezení tvaru vektoru x úpravou na schodovitý tvar
pomocí elementárních řádkových úprav


1 -1 1 0 0 | 0
1 0 1 0 1 | 0
1 1 0 -1 1 | 0

 


1 -1 1 0 0 | 0
0 1 0 0 1 | 0
0 2 -1 -1 1 | 0

 



1 -1 1 0 0 | 0
0 1 0 0 1 | 0
0 0 1 1 1 | 0


zavedeme parametry a, b a dostáváme:
x5 = b; x4 = a; x3 = -a - b; x2 = -b; x1 = a
podprostor vektorů x, což je podprostor vektorů kolmých na vektory báze podprostoru
W, a tedy ortogonální doplňek podprostoru W, je generován vektory, které dostáváme
nezávislou volbou parametrů a a b
W
= [(1, 0, -1, 1, 0)T
, (0, -1, -1, 0, 1)T
]
Úloha 3: Najděte kolmý průmět vektoru v do podprostoru W = [w1, w2] v E4, kde
w1 = (1, -1, -1, 2)T
, w2 = (3, 1, 0, 1)T
, v = (-2, 2, 2, 5)T
.
Řešení: Kolmý průmět Pv vektoru v předpokládáme ve tvaru lineární kombinace vektorů
báze podprostoru W, do kterého promítáme
Pv = a1w1 + a2w2
Aby šlo o kolmou projekci, musí být podle definice 3.11. vektor v-Pv kolmý na podprostor
W, a tedy musí platit:
v - Pv  w1
v - Pv  w2
3. Skalární součin 29
z toho plyne
v, w1 -a1 w1, w1 -a2 w2, w1 = 0
v, w2 -a1 w2, w1 -a2 w2, w2 = 0
po vyčíslení skalárních součinů dostáváme:
8 -7a1 -6a2 = 0
1 -6a1 -11a2 = 0
řešením této soustavy rovnic je a1 = 2 a a2 = -1, tedy
Pv = 2(1, 1, -1, 2) - (3, 1, 0, 1) = (-1, 1, -2, 3)
Cvičení
1. Zjistěte zda je zobrazení g : R2
× R2
 R skalární součin
(a) g(x, y) = x1y1 + x1y2 + x2y1 + x2y2
(b) g(x, y) = 4x1y1 + 2x1y2 + 5x2y2
(c) g(x, y) = x1y1 + x1y2 + x2y1 + 2x2y2
2. Zjistěte, zda je zobrazení g : R3
× R3
 R skalární součin
(a) g(u, v) = 3u1v1 - u1v2 - u2v1 + 2u2v2 + u1v3 + u3v1 + u3v3
(b) g(u, v) = 2u1v1 - u1v2 - u2v1 + u3v3
(c) g(u, v) = u1v1 + 2u1v2 - u2v1 + u2v2 + u3v1 + 2u3v3
(d) g(u, v) = u1v1 + 2u2v2 - u2v3 - u3v2 + 3u3v3
(e) g(u, v) = 3u1v1 + u1v2 + u2v1 + u2v2 + u3v3
3. Ve vektorovém prostoru R2[x] je pro libovolné dva polynomy f, g definováno reálné
číslo f, g . Rozhodněte, zda je takto definován skalární součin.
(a) f, g =
1
-1
f(t)g(t)dt
(b) f, g = 1
4. Ve vektorovém prostoru Mat22(R) je pro libovolné vektory A =
a1 a2
a3 a4
, B =
b1 b2
b3 b4
definováno reálné číslo A, B . Rozhodněte, zda je takto definován skalární
součin.
(a) A, B = det(A.B)
(b) A, B = det(A + B)
30 I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
(c) A, B = a1b1 + a4b4
(d) A, B = a1b1 + a2b2 + a3b3 + a4b4
5. Zkuste na R2
najít takový skalární součin, aby vektory u a v byly na sebe kolmé.
(a) u = (1, 2)T
, v = (2, 3)T
(b) u = (-5, 2)T
, v = (10, -4)T
6. Najděte ortogonální bázi podprostoru generovaného vektory (3, 2, -4, 6)T
, (8, 1, -2, -16)T
,
(5, 12, -14, 5)T
, (11, 3, 4, -7)T
v euklidovském prostoru E4.
7. Určete ortogonální bázi podprostoru generovaného vektory (1, 0, 4, -1)T
, (1, -4, 0, 1)T
,
(-4, 1, 1, 0)T
a jeho ortogonálního doplňku v euklidovském prostoru E4.
8. Gramm-Schmidtovým ortogonalizačním procesem sestrojte ortogonální bázi podprostoru
generovaného vektory (1, 1, -1, -1)T
, (1, -1, 1, 1)T
, (-1, -2, 0, 1)T
v euklidovském
prostoru E4.
9. V euklidovském prostoru V nalezněte ortogonální bázi podprostoru W, je-li:
(a) V = E4, W = [(1, 2, 2, -1)T
, (1, 1, -5, 3)T
, (3, 2, 8, -7)T
]
(b) V = E4, W = [(1, 0, 1, 0)T
, (0, 1, 0, -7)T
, (3, -2, 3, 14)T
]
(c) V = E5, W = [(1, 2, 0, 1, 2)T
, (1, 1, 3, 0, 1)T
, (1, 3, -3, 2, 3)T
, (1, -1, 9, -2, -1)T
]
(d) V = E5, W = [(1, -1, 0, 1, 1)T
, (1, -1, 1, 0, -1)T
, (1, -2, -2, 0, 0)T
, (1, -4, 1, 3, 4)T
]
10. V euklidovském prostoru E4 jsou dány vektory u, v. Ukažte, že tyto vektory jsou
ortogonální a doplňte je na ortogonální bázi celého prostoru. Přitom:
(a) u = (1, -2, 2, 1)T
, v = (1, 3, 2, 1)T
(b) u = (2, 3, -3, -4)T
, v = (-1, 3, -3, 4)T
(c) u = (1, 7, 7, 1)T
, v = (-1, 7, -7, 1)T
11. Najděte ortogonální bázi vektorového prostoru R3[x] se skalárním součinem definovaným
f, g =
1
-1
f(t)g(t)dt. Najděte matici přechodu od nalezené báze  do standardní
báze [1, x, x2
, x3
].
12. V euklidovském prostoru E5 je dán podprostor W. Nalezněte ortogonální bázi ortogonálního
doplňku W
, je-li:
(a) W = {(r + s + t, -r + t, r + s, -t, s + t); r, s, t  R}
(b) W = [(1, -1, 2, 1, -3)T
, (2, 1, -1, -1, 2)T
, (1, -7, 12, 7, -19)T
, (1, 5, -8, -5, 13)T
]
13. V euklidovském prostoru E4 nalezněte ortonormální bázi podprostoru vektorů, které
jsou ortogonální k vektorům u = (1, 1, 1, 1)T
, v = (1, -1, -1, 1)T
, w = (2, 1, 1, 3)T
.
3. Skalární součin 31
14. Určete všechny hodnoty parametru a  R, pro které je zadaný vektor u z euklidovského
prostoru V normovaný. Přitom:
(a) V = E5, u = (a + 1, 0, a + 2, 0, a + 1)T
(b) V = R2[x], se skalárním součinem f, g =
1
0
f(t)g(t)dt, u = 3x2
+ a
(c) V = R2[x], se skalárním součinem f, g =
1
-1
f(t)g(t)dt, u = 3x2
+ a
15. Najděte ortogonální doplněk podprostoru P generovaného vektory (-1, 2, 0, 1)T
,
(3, 1, -2, 4)T
, (-4, 1, 2, -4)T
v E4.
16. V euklidovském prostoru E4 jsou dány podprostory W = [u1, u2, u3] a S = [v], kde
u1 = (1, 1, 1, 1)T
, u2 = (-2, 6, 0, 8)T
, u3 = (-3, 1, -2, 2)T
, v = (1, a, 3, b)T
.
(a) Nalezněte ortogonální bázi W.
(b) Určete hodnoty a, b tak, aby podprostory W, S byly kolmé.
17. Najděte ortogonální průmět vektoru (1, 2, 3)T
do podprostoru generovaného vektory
(-1, 1, 1)T
, (1, 1, 1)T
v E3.
18. Nechť je L = [u, v, w] podprostor v E4. Najděte kolmý průmět vektoru z do L
.
(a) z = (4, 2, -5, 3)T
, u = (5, 1, 3, 3)T
, v = (3, -1, -3, 5)T
, w = (3, -1, 5, -3)T
(b) z = (2, 5, 2, -2)T
, u = (1, 1, 2, 8)T
, v = (0, 1, 1, 3)T
, w = (1, -2, 1, 1)T
19. V euklidovském prostoru V najděte ortogonální projekci vektoru u do podprostoru
W, je-li:
(a) V = E4, u = (-2, 2, 2, 5)T
, W = [(1, 1, -1, 2)T
, (3, 1, 0, 1)T
, (2, 0, 1, -1)T
]
(b) V = E4, u = (2, 7, -3, -6)T
, W = {(r + s, r + s, -r - 3s, 2r + 3s); r, s  R}
(c) V = E4, u = (1, 2, 3, 4)T
, W = [(0, 1, 0, 1)T
]
(d) V = E4, u = (4, -1, -3, 4)T
, W = [(1, 1, 1, 1)T
, (1, 2, 2, -1)T
, (1, 0, 0, 3)T
]
20. Nechť u, v jsou vektory z euklidovského prostoru V . Dokažte, že platí nerovnost
| u - v |  u - v .
21. Dokažte, že pro libovolných n reálných čísel x1, x2, . . . , xn platí nerovnost
x1 + x2 +    + xn
n

x2
1 + x2
2 +    + x2
n
n
.
(Návod: Použijte Cauchyovu-Schwartzovu nerovnost.)