Demonstrované cvičení - Matematika II Petr Hasil hasil@math.muni.cz Podzimní semestr 2008 Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 1 / 19 Opakování (Goniometrické, cyklometrické, exponenciální a logaritmické funkce) & Polynomy a interpolace Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 2 / 19 Obrázek: Funkce sinus Obrázek: Funkce kosinus Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 3 / 19 Obrázek: Funkce sinus a kosinus Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 4 / 19 Obrázek: Funkce tangens Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 5 / 19 Obrázek: Funkce kotangens Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 6 / 19 Obrázek: Funkce tangens a kotangens Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 7 / 19 Obrázek: Funkce arkussinus Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 8 / 19 Obrázek: Funkce arkuskosinus Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 9 / 19 Obrázek: Funkce arkustangens Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 10 / 19 Obrázek: Funkce arkuskotangens Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 11 / 19 Obrázek: Funkce ex a ln x Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 12 / 19 Obrázek: Logaritmické a exponenciální funkce Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 13 / 19 Obrázek: Logaritmické a exponenciální funkce Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 14 / 19 Polynomy a interpolace Demo 1 Příklad 1.1 Sestrojte Lagrangeův interpolační polynom, je-li dáno: xi 0 1 2 5 f(xi) 2 3 12 147 Řešení P(x) = x3 + x2 - x + 2. Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 15 / 19 Polynomy a interpolace Demo 1 Příklad 1.1 Sestrojte Lagrangeův interpolační polynom, je-li dáno: xi 0 1 2 5 f(xi) 2 3 12 147 Řešení P(x) = x3 + x2 - x + 2. Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 15 / 19 Polynomy a interpolace Demo 1 Příklad 1.2 Sestrojte Lagrangeův interpolační polynom pro funkci f(x) = x + sin x v uzlech x0 = 9, x1 = 3, x2 = 4, 5, x3 = 10, x4 = 5, 5 a x5 = 12, 5. Počítejte s pomocí počítače ­ viz přílohu. Řešení P(x) =0, 00166192229x5 - 0, 0513743551x4 + 0, 545203518x3 - 2, 21991775x2 + 3, 09117021x + 2, 88384950. Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 16 / 19 Polynomy a interpolace Demo 1 Příklad 1.2 Sestrojte Lagrangeův interpolační polynom pro funkci f(x) = x + sin x v uzlech x0 = 9, x1 = 3, x2 = 4, 5, x3 = 10, x4 = 5, 5 a x5 = 12, 5. Počítejte s pomocí počítače ­ viz přílohu. Řešení P(x) =0, 00166192229x5 - 0, 0513743551x4 + 0, 545203518x3 - 2, 21991775x2 + 3, 09117021x + 2, 88384950. Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 16 / 19 Polynomy a interpolace Demo 1 Příklad 1.2 Sestrojte Lagrangeův interpolační polynom pro funkci f(x) = x + sin x v uzlech x0 = 9, x1 = 3, x2 = 4, 5, x3 = 10, x4 = 5, 5 a x5 = 12, 5. Počítejte s pomocí počítače ­ viz přílohu. Řešení P(x) =0, 00166192229x5 - 0, 0513743551x4 + 0, 545203518x3 - 2, 21991775x2 + 3, 09117021x + 2, 88384950. Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 16 / 19 Polynomy a interpolace Demo 1 Příklad 1.3 Najděte Hermitův interpolační polynom funkce dané tabulkou xi 0 1 4 f(xi) 2 5 1 f (xi) 1 -1 2 Pomocné výpočty na počítači ­ příloha. Řešení P(x) = - 407 864 x5 + 329 72 x4 - 3953 288 x3 + 5023 432 x2 + x + 2. Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 17 / 19 Polynomy a interpolace Demo 1 Příklad 1.3 Najděte Hermitův interpolační polynom funkce dané tabulkou xi 0 1 4 f(xi) 2 5 1 f (xi) 1 -1 2 Pomocné výpočty na počítači ­ příloha. Řešení P(x) = - 407 864 x5 + 329 72 x4 - 3953 288 x3 + 5023 432 x2 + x + 2. Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 17 / 19 Polynomy a interpolace Demo 1 Příklad 1.3 Najděte Hermitův interpolační polynom funkce dané tabulkou xi 0 1 4 f(xi) 2 5 1 f (xi) 1 -1 2 Pomocné výpočty na počítači ­ příloha. Řešení P(x) = - 407 864 x5 + 329 72 x4 - 3953 288 x3 + 5023 432 x2 + x + 2. Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 17 / 19 Polynomy a interpolace Demo 1 Příklad 1.4 Sestrojte přirozený kubický interpolační splajn pro funkci f(x) = 1 1+x2 na intervalu [0, 3]. Za uzly zvolte body x0 = 0, x1 = 1 a x2 = 3. Řešení a obrázky ­ příloha. Řešení S0(x) = 1 - 11 20 x + 1 20 x3 , S1(x) = 43 40 - 31 40 x + 9 40 x2 - 1 40 x3 . Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 18 / 19 Polynomy a interpolace Demo 1 Příklad 1.4 Sestrojte přirozený kubický interpolační splajn pro funkci f(x) = 1 1+x2 na intervalu [0, 3]. Za uzly zvolte body x0 = 0, x1 = 1 a x2 = 3. Řešení a obrázky ­ příloha. Řešení S0(x) = 1 - 11 20 x + 1 20 x3 , S1(x) = 43 40 - 31 40 x + 9 40 x2 - 1 40 x3 . Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 18 / 19 Polynomy a interpolace Demo 1 Příklad 1.4 Sestrojte přirozený kubický interpolační splajn pro funkci f(x) = 1 1+x2 na intervalu [0, 3]. Za uzly zvolte body x0 = 0, x1 = 1 a x2 = 3. Řešení a obrázky ­ příloha. Řešení S0(x) = 1 - 11 20 x + 1 20 x3 , S1(x) = 43 40 - 31 40 x + 9 40 x2 - 1 40 x3 . Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 18 / 19 Polynomy a interpolace Demo 1 Příklad 1.5 Rozložte následující racionální lomené výrazy na součet parciálních zlomků: (i) 2x5+5x3-x2+2x-1 x6+2x4+x2 , (ii) 2x5-5x4+5x3-3x2+10x-3 x4-x3-x+1 . Řešení Provedťe kontrolu součtem parciálních zlomků. Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 19 / 19 Polynomy a interpolace Demo 1 Příklad 1.5 Rozložte následující racionální lomené výrazy na součet parciálních zlomků: (i) 2x5+5x3-x2+2x-1 x6+2x4+x2 , (ii) 2x5-5x4+5x3-3x2+10x-3 x4-x3-x+1 . Řešení Provedťe kontrolu součtem parciálních zlomků. Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 19 / 19