Demonstrované cvičení - Matematika II
Petr Hasil
hasil@math.muni.cz
Podzimní semestr 2008
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 1 / 9
Diferenciální počet
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 2 / 9
Diferenciální počet Demo 2
Příklad 2.1
Určete suprema a infima následujících množin:
(i) A = (-3, 2]  {7},
(ii) B = { n
n+1 , n  N},
(iii) C = {(-1)n, n  N}.
Obrázek ­ viz přílohu.
Řešení
sup A = 7,
inf A = -3,
sup B = 1,
inf B = 1/2,
sup C = 1,
inf C = -1.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 3 / 9
Diferenciální počet Demo 2
Příklad 2.1
Určete suprema a infima následujících množin:
(i) A = (-3, 2]  {7},
(ii) B = { n
n+1 , n  N},
(iii) C = {(-1)n, n  N}.
Obrázek ­ viz přílohu.
Řešení
sup A = 7,
inf A = -3,
sup B = 1,
inf B = 1/2,
sup C = 1,
inf C = -1.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 3 / 9
Diferenciální počet Demo 2
Příklad 2.1
Určete suprema a infima následujících množin:
(i) A = (-3, 2]  {7},
(ii) B = { n
n+1 , n  N},
(iii) C = {(-1)n, n  N}.
Obrázek ­ viz přílohu.
Řešení
sup A = 7,
inf A = -3,
sup B = 1,
inf B = 1/2,
sup C = 1,
inf C = -1.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 3 / 9
Diferenciální počet Demo 2
Příklad 2.2
Určete limity:
lim
n
n

2, lim
n
n

n.
Obrázek ­ viz přílohu.
Řešení
1, 1.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 4 / 9
Diferenciální počet Demo 2
Příklad 2.2
Určete limity:
lim
n
n

2, lim
n
n

n.
Obrázek ­ viz přílohu.
Řešení
1, 1.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 4 / 9
Diferenciální počet Demo 2
Příklad 2.2
Určete limity:
lim
n
n

2, lim
n
n

n.
Obrázek ­ viz přílohu.
Řešení
1, 1.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 4 / 9
Diferenciální počet Demo 2
Příklad 2.3
Spočtěte limity posloupností:
(i)
lim
n
2n3 + 3n2 + 2
4n3 - n
,
(ii)
lim
n
( n2 + n - n),
(iii)
lim
n
3n + n5 - 4n
2n + 3n + n2
.
Obrázek ­ viz přílohu.
Řešení
1/2, 1/2, 1.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 5 / 9
Diferenciální počet Demo 2
Příklad 2.3
Spočtěte limity posloupností:
(i)
lim
n
2n3 + 3n2 + 2
4n3 - n
,
(ii)
lim
n
( n2 + n - n),
(iii)
lim
n
3n + n5 - 4n
2n + 3n + n2
.
Obrázek ­ viz přílohu.
Řešení
1/2, 1/2, 1.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 5 / 9
Diferenciální počet Demo 2
Příklad 2.3
Spočtěte limity posloupností:
(i)
lim
n
2n3 + 3n2 + 2
4n3 - n
,
(ii)
lim
n
( n2 + n - n),
(iii)
lim
n
3n + n5 - 4n
2n + 3n + n2
.
Obrázek ­ viz přílohu.
Řešení
1/2, 1/2, 1.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 5 / 9
Diferenciální počet Demo 2
Příklad 2.4
Určete, zda je daná funkce spojitá/spojitá zleva/spojitá zprava v
bodech -/2, 0, 1, 2, 3, 4. Jestliže je nespojitá, určete druh nespojitosti.
f(x) =



cos x x < 0,
1 0  x < 1,
2 x = 1,
1 1 < x < 2,
x 2  x  3,
1
(x-3)2 x > 3.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 6 / 9
Diferenciální počet Demo 2
Obrázek: Body nespojitosti
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 7 / 9
Diferenciální počet Demo 2
Příklad 2.5
Spočtěte limity (víme, že limx0
sin x
x = 1, limx0
ex -1
x = 1):
(i)
lim
x0
sin 5x
sin 7x
,
(ii)
lim
x
x + sin x
2x + cos x
,
(iii)
lim
x0
ex - e-x
sin 2x
,
(iv)
lim
x2
x2 + x - 6
x2 - 3x + 2
,
(v)
lim
x2
x2
x2 - 3x + 2
,
(vi)
lim
x0

1 + x -

1 - x
x
.
Řešení
5/7, /2, 1, 5, neexistuje, 1.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 8 / 9
Diferenciální počet Demo 2
Příklad 2.5
Spočtěte limity (víme, že limx0
sin x
x = 1, limx0
ex -1
x = 1):
(i)
lim
x0
sin 5x
sin 7x
,
(ii)
lim
x
x + sin x
2x + cos x
,
(iii)
lim
x0
ex - e-x
sin 2x
,
(iv)
lim
x2
x2 + x - 6
x2 - 3x + 2
,
(v)
lim
x2
x2
x2 - 3x + 2
,
(vi)
lim
x0

1 + x -

1 - x
x
.
Řešení
5/7, /2, 1, 5, neexistuje, 1.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 8 / 9
Diferenciální počet Demo 2
Příklad 2.6
Je dána funkce
f(x) =
ln(2x3 + 4x2 - x)
1 + x
.
Určete rovnice tečny a normály ke grafu této funkce v bodě [1, f(1)].
Obrázek ­ viz přílohu.
Řešení
t : y ln
5
2
=
13
10
ln
5
4
(x - 1),
n: y ln
5
2
=
20
5 ln 5 - 26
(x - 1).
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 9 / 9
Diferenciální počet Demo 2
Příklad 2.6
Je dána funkce
f(x) =
ln(2x3 + 4x2 - x)
1 + x
.
Určete rovnice tečny a normály ke grafu této funkce v bodě [1, f(1)].
Obrázek ­ viz přílohu.
Řešení
t : y ln
5
2
=
13
10
ln
5
4
(x - 1),
n: y ln
5
2
=
20
5 ln 5 - 26
(x - 1).
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 9 / 9
Diferenciální počet Demo 2
Příklad 2.6
Je dána funkce
f(x) =
ln(2x3 + 4x2 - x)
1 + x
.
Určete rovnice tečny a normály ke grafu této funkce v bodě [1, f(1)].
Obrázek ­ viz přílohu.
Řešení
t : y ln
5
2
=
13
10
ln
5
4
(x - 1),
n: y ln
5
2
=
20
5 ln 5 - 26
(x - 1).
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 9 / 9