Demonstrované cvičení - Matematika II
Petr Hasil
hasil@math.muni.cz
Podzimní semestr 2008
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 1 / 8
Diferenciální počet
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 2 / 8
Diferenciální počet Demo 3
Příklad 3.1
Spočtěte derivace následujících funkcí:
(i)
sin[ln(x3
+ 2x)],
(ii)
cotg(e(x2+1) sin x
).
Řešení
3x2 + 2
x3 + 2x
cos[ln(x3
+ 2x)], -
2x sin x + (x2 + 1) cos x
sin2
(e(x2+1) sin x )
e(x2+1) sin x
.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 3 / 8
Diferenciální počet Demo 3
Příklad 3.1
Spočtěte derivace následujících funkcí:
(i)
sin[ln(x3
+ 2x)],
(ii)
cotg(e(x2+1) sin x
).
Řešení
3x2 + 2
x3 + 2x
cos[ln(x3
+ 2x)], -
2x sin x + (x2 + 1) cos x
sin2
(e(x2+1) sin x )
e(x2+1) sin x
.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 3 / 8
Diferenciální počet Demo 3
Příklad 3.2
Hyperbolické funkce jsou dány takto:
sinh x =
ex - e-x
2
, cosh x =
ex + e-x
2
,
tgh x =
ex - e-x
ex + e-x
, cotgh x =
ex + e-x
ex - e-x
.
Určete derivace těchto funkcí:
Pomocí definice derivace. Přímým výpočtem.
Řešení
(sinh x) = cosh x, (cosh x) = sinh x,
(tgh x) =
1
cosh2
x
, (cotgh x) =
-1
sinh2
x
.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 4 / 8
Diferenciální počet Demo 3
Příklad 3.2
Hyperbolické funkce jsou dány takto:
sinh x =
ex - e-x
2
, cosh x =
ex + e-x
2
,
tgh x =
ex - e-x
ex + e-x
, cotgh x =
ex + e-x
ex - e-x
.
Určete derivace těchto funkcí:
Pomocí definice derivace. Přímým výpočtem.
Řešení
(sinh x) = cosh x, (cosh x) = sinh x,
(tgh x) =
1
cosh2
x
, (cotgh x) =
-1
sinh2
x
.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 4 / 8
Diferenciální počet Demo 3
Příklad 3.3
Pomocí inverzní funkce najděte derivaci funkcí
argsinh x, argcosh x, arcsin x, arccos x.
Řešení
1

1 + x2
,
1

x2 - 1
,
1

1 - x2
,
-1

1 - x2
.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 5 / 8
Diferenciální počet Demo 3
Příklad 3.3
Pomocí inverzní funkce najděte derivaci funkcí
argsinh x, argcosh x, arcsin x, arccos x.
Řešení
1

1 + x2
,
1

x2 - 1
,
1

1 - x2
,
-1

1 - x2
.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 5 / 8
Diferenciální počet Demo 3
Příklad 3.4
Určete derivace následujících funkcí (x > 0):
f(x) = xx
, g(x) = xsin x
Řešení
f (x) = xx
(ln x + 1),
g (x) = xsin x
cos x ln x +
sin x
x
.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 6 / 8
Diferenciální počet Demo 3
Příklad 3.4
Určete derivace následujících funkcí (x > 0):
f(x) = xx
, g(x) = xsin x
Řešení
f (x) = xx
(ln x + 1),
g (x) = xsin x
cos x ln x +
sin x
x
.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 6 / 8
Diferenciální počet Demo 3
Příklad 3.5
Následující limity jsou (po řadě) následujících typů:
0
0
,


,  - , 0  , 0
, 1
, 00
.
Jejich typ ověřte a spočtěte je.
(i) limx1
ln x
cos(
2
x)
,
(ii) limx0+
ln x
cotg x ,
(iii) limx1
x
x-1 - 1
ln x ,
(iv) limx1+ [ln x ln(x - 1)],
(v) limx0+ (cotg x)
1
ln x ,
(vi) limx0
sin x
x
1
x2
,
(vii) limx1- cos 
2 x
ln x
.
Řešení
(i) -2
 ,
(ii) 0,
(iii) 1
2,
(iv) 0,
(v) 1
e ,
(vi) e-1
6 ,
(vii) 1.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 7 / 8
Diferenciální počet Demo 3
Příklad 3.5
Následující limity jsou (po řadě) následujících typů:
0
0
,


,  - , 0  , 0
, 1
, 00
.
Jejich typ ověřte a spočtěte je.
(i) limx1
ln x
cos(
2
x)
,
(ii) limx0+
ln x
cotg x ,
(iii) limx1
x
x-1 - 1
ln x ,
(iv) limx1+ [ln x ln(x - 1)],
(v) limx0+ (cotg x)
1
ln x ,
(vi) limx0
sin x
x
1
x2
,
(vii) limx1- cos 
2 x
ln x
.
Řešení
(i) -2
 ,
(ii) 0,
(iii) 1
2,
(iv) 0,
(v) 1
e ,
(vi) e-1
6 ,
(vii) 1.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 7 / 8
Diferenciální počet Demo 3
Příklad 3.6
Pohyb tělesa (hmotného bodu) je popsán funkcí
s(t) = -(t - 3)2
+ 16, [m/s].
Určete:
(i) Počáteční rychlost tělesa (v čase t0 = 0).
(ii) Čas a polohu, ve které se těleso zastaví.
(iii) Rychlost, zrychlení a polohu tělesa 1s po zastavení.
(iv) Čas, ve kterém se těleso vrátí do počáteční pozice.
Řešení
(i) 6,
(ii) 3, 16,
(iii) -2, -2, 15,
(iv) 6.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 8 / 8
Diferenciální počet Demo 3
Příklad 3.6
Pohyb tělesa (hmotného bodu) je popsán funkcí
s(t) = -(t - 3)2
+ 16, [m/s].
Určete:
(i) Počáteční rychlost tělesa (v čase t0 = 0).
(ii) Čas a polohu, ve které se těleso zastaví.
(iii) Rychlost, zrychlení a polohu tělesa 1s po zastavení.
(iv) Čas, ve kterém se těleso vrátí do počáteční pozice.
Řešení
(i) 6,
(ii) 3, 16,
(iii) -2, -2, 15,
(iv) 6.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 8 / 8