Demonstrované cvičení - Matematika II
Petr Hasil
hasil@math.muni.cz
Podzimní semestr 2008
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 1 / 6
Diferenciální počet
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 2 / 6
Diferenciální počet Demo 4
Příklad 4.1
Určete limitu
lim
x0
e
- 1
x2
x100
.
Řešení
0.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 3 / 6
Diferenciální počet Demo 4
Příklad 4.1
Určete limitu
lim
x0
e
- 1
x2
x100
.
Řešení
0.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 3 / 6
Diferenciální počet Demo 4
Příklad 4.2
Najděte obecnou rovnici tečny ke grafu funkce (dané implicitně)
y log2 x + sin y = 0
v bodě [x0, y0] = [1, ?], kde y0  [1/2, 7/2].
Řešení
y =

ln 2
x +  -

ln 2
.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 4 / 6
Diferenciální počet Demo 4
Příklad 4.2
Najděte obecnou rovnici tečny ke grafu funkce (dané implicitně)
y log2 x + sin y = 0
v bodě [x0, y0] = [1, ?], kde y0  [1/2, 7/2].
Řešení
y =

ln 2
x +  -

ln 2
.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 4 / 6
Diferenciální počet Demo 4
Příklad 4.3
Je dána funkce
f(x) = x2
e-x
.
Vyšetřete její průběh ­ tj. určete:
(1) definiční obor (a obor
hodnot),
(2) sudost/lichost,
(3) průsečíky s osami x, y,
(4) kde je funkce
kladná/záporná,
(5) intervaly monotonie,
(6) konvexnost/konkávnost,
(7) lokální extrémy a inflexní
body,
(8) asymptoty se směrnicí/bez
směrnice,
(9) načrtněte graf.
Řešení
Viz přílohu.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 5 / 6
Diferenciální počet Demo 4
Příklad 4.3
Je dána funkce
f(x) = x2
e-x
.
Vyšetřete její průběh ­ tj. určete:
(1) definiční obor (a obor
hodnot),
(2) sudost/lichost,
(3) průsečíky s osami x, y,
(4) kde je funkce
kladná/záporná,
(5) intervaly monotonie,
(6) konvexnost/konkávnost,
(7) lokální extrémy a inflexní
body,
(8) asymptoty se směrnicí/bez
směrnice,
(9) načrtněte graf.
Řešení
Viz přílohu.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 5 / 6
Diferenciální počet Demo 4
Příklad 4.4
Vyšetřete průběhy funkcí:
(i)
f(x) =
x
x2 - 1
,
(ii)
g(x) = -
x2
x + 1
,
(iii)
h(x) =
1
x
+ ln x.
Řešení
Viz přílohu.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 6 / 6
Diferenciální počet Demo 4
Příklad 4.4
Vyšetřete průběhy funkcí:
(i)
f(x) =
x
x2 - 1
,
(ii)
g(x) = -
x2
x + 1
,
(iii)
h(x) =
1
x
+ ln x.
Řešení
Viz přílohu.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 6 / 6