Demonstrované cvičení - Matematika II
Petr Hasil
hasil@math.muni.cz
Podzimní semestr 2008
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 1 / 9
Diferenciální počet
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 2 / 9
Diferenciální počet Demo 5
Příklad 5.1
Je dán čtverec papíru. Z každého rohu odstraňte menší čtvereček tak,
aby krabička poskládaná ze zbytku papíru měla maximální objem ­ viz
obrázek a animace 01, 02, 03.
Řešení
x =
a
6
, V =
2a3
27
.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 3 / 9
Diferenciální počet Demo 5
Příklad 5.1
Je dán čtverec papíru. Z každého rohu odstraňte menší čtvereček tak,
aby krabička poskládaná ze zbytku papíru měla maximální objem ­ viz
obrázek a animace 01, 02, 03.
Řešení
x =
a
6
, V =
2a3
27
.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 3 / 9
Diferenciální počet Demo 5
Příklad 5.2
Číslo 28 rozložte na 2 nezáporné sčítance tak, aby součet druhé
mocniny prvního sčítance a třetí mocniny druhého sčítance byl
minimální.
Řešení
4, 24.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 4 / 9
Diferenciální počet Demo 5
Příklad 5.2
Číslo 28 rozložte na 2 nezáporné sčítance tak, aby součet druhé
mocniny prvního sčítance a třetí mocniny druhého sčítance byl
minimální.
Řešení
4, 24.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 4 / 9
Diferenciální počet Demo 5
Příklad 5.3
Vepište do půlkružnice (poloměr r) obdélník o:
(i) největším možném obsahu,
(ii) největším možném obvodu.
Příslušný obsah a obvod určete.
Ilustrovaný postup řešení k bodu (i) najdete zde.
Řešení
(i) a =

2r, b =

2
2 r, S = r2
,
(ii) a = 4

5
5 r, b = 2

5
5 r, O = 2

5r.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 5 / 9
Diferenciální počet Demo 5
Příklad 5.3
Vepište do půlkružnice (poloměr r) obdélník o:
(i) největším možném obsahu,
(ii) největším možném obvodu.
Příslušný obsah a obvod určete.
Ilustrovaný postup řešení k bodu (i) najdete zde.
Řešení
(i) a =

2r, b =

2
2 r, S = r2
,
(ii) a = 4

5
5 r, b = 2

5
5 r, O = 2

5r.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 5 / 9
Diferenciální počet Demo 5
Příklad 5.3
Vepište do půlkružnice (poloměr r) obdélník o:
(i) největším možném obsahu,
(ii) největším možném obvodu.
Příslušný obsah a obvod určete.
Ilustrovaný postup řešení k bodu (i) najdete zde.
Řešení
(i) a =

2r, b =

2
2 r, S = r2
,
(ii) a = 4

5
5 r, b = 2

5
5 r, O = 2

5r.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 5 / 9
Diferenciální počet Demo 5
Příklad 5.4
Zjistěte výšku v a poloměr podstavy r nejobjemnějšího kužele, který
se vejde do koule o poloměru R.
Řešení
v =
4
3
R, r =
2

2
3
R.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 6 / 9
Diferenciální počet Demo 5
Příklad 5.4
Zjistěte výšku v a poloměr podstavy r nejobjemnějšího kužele, který
se vejde do koule o poloměru R.
Řešení
v =
4
3
R, r =
2

2
3
R.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 6 / 9
Diferenciální počet Demo 5
Příklad 5.5
V továrně na výrobu kalkulaček zjistili, že pokud vyjádří výnos a
náklady jako funkce proměnné x reprezentující počet kalkulaček
(v tisících denně), obdrží funkce:
r(x) = 9x (výnos), c(x) = x3
- 6x2
+ 15x (náklady).
Určete, při jakém objemu výroby bude mít továrna největší zisky.
Řešení
Největší zisky bude mít při výrobě 3 414 kalkulaček denně.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 7 / 9
Diferenciální počet Demo 5
Příklad 5.5
V továrně na výrobu kalkulaček zjistili, že pokud vyjádří výnos a
náklady jako funkce proměnné x reprezentující počet kalkulaček
(v tisících denně), obdrží funkce:
r(x) = 9x (výnos), c(x) = x3
- 6x2
+ 15x (náklady).
Určete, při jakém objemu výroby bude mít továrna největší zisky.
Řešení
Největší zisky bude mít při výrobě 3 414 kalkulaček denně.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 7 / 9
Diferenciální počet Demo 5
Příklad 5.6
Chceme přestěhovat žebřík z chodby široké p stop pravoúhlou
zatáčkou do chodby široké q stop. Jaký nejdelší žebřík proneseme ve
vodorovné poloze?
Ilustrovaný postup řešení najdete zde.
Řešení
Maximální délka = (p
2
3 + q
2
3 )
3
2 .
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 8 / 9
Diferenciální počet Demo 5
Příklad 5.6
Chceme přestěhovat žebřík z chodby široké p stop pravoúhlou
zatáčkou do chodby široké q stop. Jaký nejdelší žebřík proneseme ve
vodorovné poloze?
Ilustrovaný postup řešení najdete zde.
Řešení
Maximální délka = (p
2
3 + q
2
3 )
3
2 .
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 8 / 9
Diferenciální počet Demo 5
Příklad 5.6
Chceme přestěhovat žebřík z chodby široké p stop pravoúhlou
zatáčkou do chodby široké q stop. Jaký nejdelší žebřík proneseme ve
vodorovné poloze?
Ilustrovaný postup řešení najdete zde.
Řešení
Maximální délka = (p
2
3 + q
2
3 )
3
2 .
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 8 / 9
Diferenciální počet Demo 5
Příklad 5.7
Určete Taylorův polynom 4. stupně se středem v bodě 1 funkce
f(x) = 1/x. Určete také tvar zbytku.
Řešení
T4(x) = x4
- 5x3
+ 10x2
- 10x + 5,
R4(x) =
-1
c6
(x - 1)5
.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 9 / 9
Diferenciální počet Demo 5
Příklad 5.7
Určete Taylorův polynom 4. stupně se středem v bodě 1 funkce
f(x) = 1/x. Určete také tvar zbytku.
Řešení
T4(x) = x4
- 5x3
+ 10x2
- 10x + 5,
R4(x) =
-1
c6
(x - 1)5
.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 9 / 9